Очень красивое решение олимпиадной задачи. Подписчик был прав!

Итак, сегодня в моей группе в Facebook приходит сообщение:

Ну что же, распишем всё красиво и восстановим справедливость. Для примера я решу задачу, где количество делителей равно 12, а затем покажу, что для числа 14 задача решения не имеет.

Итак, нам пригодится одна искусственная функция, которая позволяет получить выражение для количества делителей числа

О.Т.А. - основная теорема арифметики. Впрочем, даже, если Вы не знаете этой формулы, она легко выводится. Количество делителей числа можно получить, перебрав все варианты из канонического разложения и добавив 1.

Что же получается для нашего числа, запишем:

Число 12 можно разложить на произведение натуральных чисел (не простых!) четырьмя способами. Исходя из этого получаем 4 варианта канонического разложения.

С этим закончили, теперь пришло время взяться за само число n. В условии сказано, что оно заканчивается на "00", что автоматически приводит к его делению на 100. Заметим, что:

Теперь осталось соотнести варианты разложения из первого и второго разделов:

Из II понятно, что разложение искомых чисел состоит минимум из 2 простых чисел. Первый случай - не подходит. Во втором случае должно быть только два простых числа в разложении и одно из них в первой степени: как ни крути, такого не получится. В четвертом случае - аналогично не получится и для трех чисел в разложении

Именно числа 200 и 500 удовлетворяют условию задачи. А что же будет, когда число делителей 14 ? Посмотрите:

Случай с одним простым множителем тоже не подходит

Вот и получается, что подписчик был полностью прав, и таких чисел не существует. Спасибо за внимание!

Читайте также:

• Парадокс лестницы
• Красивый метод решения уравнений
• TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.