Осторожно, формулы! Нешкольная физика и интегралы. Не волнуйтесь, с обычной жизнью всё это связано слабо.
Здравствуйте, уважаемые читатели! Эта статья предназначена для учителей и преподавателей физики, а также студентов технических специальностей. Разберёмся в тонком вопросе о центрах тяжести, масс и инерции. В школьном курсе физики, как правило, центр инерции не вводится вообще, а центр тяжести и центр масс - одно и то же. В обычной земной жизни это вполне оправдано, но есть условия, при которых видны эти различия.
Зачем все это нужно?
Мы, физики - ленивые люди, хотим упростить себе жизнь. Материальная точка - самая простая модель, но есть тела, которые точками быть не хотят. Для поступательного движения тела существует теорема о движении центра масс - можно все силы, действующие на каждую точку тела, свести в центр масс, и рассмотреть движение этой точки. Это удобно. За вопросы устойчивости тела в поле тяготения отвечает центр тяжести. Движение тела в неинерциальной системе отсчета описывает положение центра инерции. Эти волшебные центры спасают от необходимости решать бесчисленное количество уравнений со связями для каждой точки системы.
Формулы и пояснения
Найти координаты центров масс, тяжести и инерции можно по известным формулам. Для системы точек это будет сумма по всем точкам, а для сплошного тела - интеграл. Собрала все формулы в одну табличку:
Если тело однородно, то центр масс совпадает с геометрическим центром тела.
В случае, если поле тяжести однородно, то центр тяжести совпадает с центром масс. Это нетрудно показать:
Если тело находится в неинерциальной системе отсчёта, в которой все точки движутся с одинаковым ускорением, то центр инерции совпадает с центром масс. Вот, как это доказывается:
Видите, когда всё однородное, то достаточно одной точки - центра масс. Чаще всего в жизни именно так и бывает.
Различия покажу на конкретном примере. Введем модельную систему с неоднородным полем сил тяжести и сил инерции.
Модельная система. Расчёт центра тяжести
Перенесёмся мысленно на планету, где живёт Маленький Принц из книги Экзюпери. Планета маленькая, и если на ней вырастет баобаб, то его высота может быть больше радиуса планеты. В качестве модели для расчета рассмотрим такой баобаб с высотой, равной радиусу планеты R. Рассчитаем высоту, на которой находится его центр масс и центр тяжести. Для простоты баобаб можно считать однородным цилиндром. Сила тяжести, действующая на разные части баобаба, будет зависеть от высоты.
Баобаб - сплошное тело, и для расчета центра масс и центра тяжести надо брать интегралы. В качестве элемента объёма удобно брать элемент высоты dh, и ввести линейную плотность.
Сначала рассчитаем высоту центра масс.
Рассчитаем эти интегралы. Так как плотность не зависит от высоты, то они легко берутся:
Центр масс оказался на половине высоты баобаба, чего и следовало ожидать. Это понятно без всяких интегралов, правда?
С центром тяжести придётся повозиться побольше, поинтегрировать зависящую от высоты силу тяжести.
Рассчитаем отдельно числитель:
Теперь знаменатель:
Поделим числитель на знаменатель:
Видите, центр тяжести находится ниже, чем середина баобаба. Результат логичный - нижние части весят больше, потому что они ближе к центру планеты. Мы рассчитали всё строго математически. Теперь займёмся центром инерции.
Центр инерции баобаба
Представим, что планета Маленького Принца вращается вокруг своей оси с некоторой угловой скоростью, а баобаб растёт на экваторе. Высота баобаба по-прежнему равна радиусу планеты, поэтому центробежная сила инерции на разные части баобаба будет действовать по-разному.
Рассчитаем вертикальную координату центра инерции - опять же с помощью интегралов.
Поделим числитель на знаменатель и получим окончательное значение высоты центра инерции:
Смотрите, центр инерции оказался выше, чем середина баобаба, что вполне логично - чем дальше тело от оси вращения, тем больше сила инерции, и на верхние части баобаба будут действовать силы побольше. Интегралы нас не обманывают!
Подводим итоги
Итак, мы видим, что центр тяжести, центр масс и центр инерции - разные точки. Наша Земля слишком велика, и это различие никак не проявляется в эксперименте. На планете Маленького Принца видно то, что на Земле не увидишь, а интегралы помогают там, где органы чувств подводят.
На этом заканчиваю статью. Всем, кто дочитал до конца - моё уважение!
Если этот материал был вам полезен, поставьте, пожалуйста, лайк!