Привет! У тех, кто готовится к ОГЭ, возникает много вопросов по поводу задач на движение из второй части. И один из возможных вариантов таких задач – это задача про лодку, которая плывёт по течению и против течения. Сегодня разберем конкретный пример такой задачи:
Моторная лодка прошла 45 км против течения реки и вернулась в пункт отправления. При этом на обратный путь она затратила на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
- Шаг № 1
Давайте для начала разберемся в самой ситуации. У каждой моторной лодки есть двигатель (мотор), который приводит её в движение. Если лодка плывёт, например, по пруду со стоячей водой, то она двигается только благодаря мотору. Скорость лодки в данном случае называется собственная скорость лодки. Её ничего не подгоняет и ничего не тормозит. Именно скорость лодки в неподвижной (стоячей) воде (то есть её собственную скорость) и просят найти авторы задания. То, что нужно найти, в задачах обозначается за «Х».
Итак, собственная скорость лодки = Х.
Лодка будет плыть с собственной скоростью только в неподвижной воде. Если переместить её на реку, то мы столкнёмся с таким явлением, как течение. В реке вода не стоит на месте: она движется в определённую сторону. Скорость течения реки в нашем задании = 3 км/ч.
Что же произойдёт, если лодка будет плыть по течению? Во-первых, её будет приводить в движение мотор. А во-вторых, ее будет подгонять течение. Логично, что по течению лодка будет двигаться быстрее, чем в стоячей воде.
Но как же найти скорость лодки по течению? Очень просто! Она равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки.
Так как скорость течения нам известна по условию, а собственную скорость лодки мы уже обозначили за «Х», то нам лишь осталось подставить в формулу наши значения. То есть в нашем случае вычислить скорость лодки по течению можно так:
Vпо течению = Vсобственная + Vтечения
Vпо течению = Х + 3 км/ч.
А если лодка будет плыть против течения? В этом случае течение будет её не подгонять, а тормозить. Ведь вода движется в одну сторону, а лодка – в противоположную.
Значит теперь скорость будет меньше, чем в стоячей воде. Найти её можно так: вычесть из собственной скорости лодки скорость течения реки:
Вычислим скорость против течения для нашего случая:
Vпротив течения = Vсобственная - Vтечения
Vпротив течения = Х - 3 км/ч.
Отлично! Перед тем, как перейти к дальнейшим действиям, вспомним формулы для задач на движение:
- Шаг №2
Теперь давайте оформим таблицу, в которую занесем все наши данные. Так мы точно не запутаемся!
Для начала заполним столбик «Расстояние». Для пути против течения оно равно 45 км. Сказано, что лодка вернулась назад. В этом случае на обратном пути по течению она проплыла ровно столько же!
Со скоростями мы уже разобрались. Скорость по течению = Х + 3 км/ч, а против течения = Х – 3 км/ч.
Теперь разберемся со временем. Напомню, что оно вычисляется по формуле: расстояние поделить на скорость. Расстояния у нас есть, скорости тоже, и записать время нам ничего не мешает!
Отлично, все данные записаны, теперь переходим к основному решению!
- Шаг №3
Обратимся к условию ещё раз. Сказано, что на обратный путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Так что теперь работаем со временем.
Давайте обозначим время движения против течения за t1, а время движения по течению t2. Если на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше, то путь «туда» на 2 часа больше.
Из вышесказанного делаем вывод, что t1 > t2 на 2 часа. Это значит, что если из t1 вычесть t2, то получится 2.
t1 - t2 = 2
А теперь подставим в наше выражение t1 - t2 = 2 вместо t1 и t2 наши значения из таблицы. Тогда мы получим замечательное уравнение, которое и поможет нам прийти к ответу.
- Шаг №4
Мы получили дробно-рациональное уравнение. Это значит, что неизвестный «Х» стоит в знаменателе.
И первый шаг в решении подобных уравнений – это запись ОДЗ (области допустимых значений). ОДЗ показывает, каким числом «Х» может быть, а каким - нет.
«Х» стоит в знаменателе, а основное, что мы знаем про знаменатель - это то, что он не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Запишем знаменатели наших дробей и отметим, что они не равны нулю:
1) Х – 3 ≠ 0
2) Х + 3 ≠ 0
Продолжаем работать с этой записью, как с уравнением:
1) Х ≠ 3
2) Х ≠ - 3
Значит, ОДЗ: Х ≠ ±3. "Х" также должен быть больше нуля, так как скорость (а за "Х" мы обозначили именно её) не может быть отрицательной.
Итог шага №4: ОДЗ: Х ≠ ±3; Х > 0
- Шаг №5
Продолжаем работу с уравнением. Мы разобрались с ОДЗ, а значит, можем с чистой совестью избавиться от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее число, которое делится на все знаменатели рассматриваемых дробей. В нашем случае это (Х – 3) (Х + 3). Он делится и на (Х – 3), и на (Х + 3). Вперед!
Чтобы лучше разобраться в сложных числовых махинациях, обратимся к подробной записи:
Обратите внимание, что дроби слева сокращаются, таким образом исчезает знаменатель.
Итак, вот что у нас получается:
45(х + 3) – 45(х - 3) = 2(х - 3)(х + 3)
Обратим внимание на скобки (х - 3)(х + 3). Они представляют собой разложенную разность квадратов. Вспомним эту формулу:
Скобки (х - 3)(х + 3) соответствуют части (a + b)(a - b) в формуле. Чтобы свернуть её обратно, нам нужно записать квадрат первого числа(Х^2), поставить знак минус, а затем записать квадрат второго числа (3^2 = 9).
45(х + 3) – 45(х - 3) = 2(х^2 - 9)
Предлагаю перенести все элементы в одну сторону. Напомню, что при переходе в противоположную сторону элемент должен поменять знак. То есть если справа мы видим 2(х^2 - 9), то перенести влево должны
- 2(х^2 - 9). При этом справа ничего не остаётся, поэтому ставим ноль. Приступим!
45(х + 3) – 45(х - 3) - 2(х^2 - 9) = 0
Теперь давайте раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
45(х + 3) – 45(х - 3) - 2(х^2 - 9) = 0
45х + 135 – 45х + 135 – 2х^2 + 18 = 0
Слагаемые 45х и – 45х в сумме дают ноль, поэтому их можно больше не записывать. Они «взаимоуничтожаются»
288 – 2х^2 = 0
Теперь перенесем все числовые значения вправо, а буквенные оставим слева, а затем продолжим решение:
– 2х^2 = - 288
x^2 = - 288/- 2
х^2 = 144
х = ±√144 = ±12.
Мы получили два корня. Корень – 12 нам не подходит, так как он отрицательный, а выше мы писали, что х > 0. А вот корень 12 удовлетворяет всем условиям, он нам подходит. Так как за "Х" мы обозначили собственную скорость лодки, которую и требуется найти в задании, то, решив это уравнение, мы получили ответ!
Ответ: 12 км/ч.
А вот решение без лишних пояснений:
Надеюсь, все было максимально понятно:)
До новых встреч!!