Теория множеств - это фундамент математики. Её основы дают еще в школе, да и я останавливался уже на самых простых определениях (цикл статей с самых азов)
- Настоятельно рекомендую ознакомиться прошлым материалом из этого направления, в котором я рассказывал, что понимается под "шаром" в математике.
Определение открытого множества выходит за рамки школьной программы просто потому, что его там негде применять, особенно сейчас, когда школьное математическое образование заточено под узкоспециализированную задачу сдачи ЕГЭ. Тем не менее, в этом понятии нет ничего сложного, в чём я и призываю Вас убедиться. Поехали!
Итак, открытым множеством А называется такое множество, любая точка которого содержится в некотором шаре. На языке кванторов это описывается так:
Читается: для любой точки х, принадлежащей множеству А, существует такое положительное число r, что шар радиусом r с центром в точке х принадлежит А. Иными словами, мы перебираем все точки множества, и если в каждой из них нам удается "нарисовать" шар (подобрать радиус)
, все точки которого принадлежат множеству А, то объявляем такое множество А открытым.
Напротив, если мы находим хотя бы одну точку, в которой нельзя подобрать радиус так, чтобы шар включал только точки множества А, множество считается не открытым. Посмотрите на примеры:
Для квадрата, находящегося на плоскости (в метрическом пространстве), который не включает границы, мы можем взять любую внутреннюю точку, измерить два расстояния до сторон квадрата, а затем взять в качестве радиуса шара минимальное, деленное пополам.
Замечательно, что как бы точка х не была близка к стороне квадрата, мы всегда можем выполнить такое построение.
А вот совсем другой пример нас ждет, если включить границы квадрата в рассматриваемое множество:
В таком случае мы легко предъявляем бесконечное число точек, в которых шар построить невозможно: все они находятся на границе квадрата.
Важно отметить, что открытость множества зависит от того, в каком пространстве это множество рассматривается. Например, если ограничить ВСЁ пространство самим квадратом с границей (т.е. больше ничего не существует во Вселенной), то он уже будет открытым множеством.
Действительно, даже взяв точку на границе такого квадрата и выбрав любой радиус, мы получим шар, все точки которого принадлежат квадрату. Т.е. по определению такой квадрат будет считаться открытым множеством. Вот такие тонкости.
Конечно, открытые множества существуют и в отличных от плоскости метрических пространствах, например, на вещественной прямой:
- В первом случае открытый интервал - по определению шар, а каждый шар сам является открытым множеством (строго говоря, это доказывается).
- Во втором случае, мы как с квадратом всегда можем выбрать такой радиус. что в шаре будут содержаться только точки открытого луча.
- Аналогично с квадратом с границей, в третьем случае мы можем предъявить две точки, в которых построение невыполнимо.
Кроме того, открытыми множествами является сама вещественная прямая и даже пустое множество. Однако, отдельная точка на прямой {a} - не открытое множество, т.к. не существует шара (радиус больше 0!) с центром в этой точке, удовлетворяющему определению открытости.
Зачем всё это надо? Заметьте, что в своих умозаключениях мы не задавались конкретным радиусом шара, нам просто было нужно, чтобы он существовал. Этот переход удивителен, но позволяет через открытые множества перейти к еще более фундаментальному понятию, к священному Граалю математики - топологическому пространству, в котором расстояния уже не важны, а фигуры сплетаются в невообразимых танцах, нарушая все привычные нам законы. Но это уже совсем другая история.
Читайте статьи из цикла "Основы математического мироздания":
TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.