Небольшой груз, подвешенный на длинной нити, совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает 0,1 м/с. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Максимальное смещение изображения груза на экране от положения равновесия равно A₁ = 0,1 м. Чему равна длина нити L ?
Решение:
Для начала сделаем рисунок в объеме, чтобы мы ясно представляли где находится реальный маятник, а где находится его изображение.
Итак, математический маятник массы m совершает колебания с некоторой амплитудой x₀, а его изображение на экране колеблется с амплитудой A₁.
Свяжем реальную амплитуду и амплитуду изображения через оптику в нашей задаче. Для получения четкого изображения экран должен находиться на расстоянии f = 0.5 метра от линзы. Однако, мы не знаем на каком расстоянии d от линзы находится плоскость колебаний груза. Его мы найдем через уравнение тонкой линзы.
Далее из геометрии подобия треугольников найдем формулу линейного увеличения тонкой линзы:
Теперь воспользуемся динамикой для дальнейшего исследования задачи. Нам необходимо связать амплитуду с заданными в условии параметрами. Используя закон сохранения энергии, можно связать максимальную кинетическую энергию (когда груз проходит положение равновесия) с максимальной потенциальной энергией (когда груз отклоняется на максимальный угол и поднимается на максимальную высоту h относительно положения свободно виса).
Гармонические колебания обусловлены малым первоначальным положением отклонением, то есть малость угла α → 0. Используя формулы понижения степени из тригонометрии и бесконечно малые функции (как следствии из разложение в ряд Маклорена) получим:
Для малых колебаний длина дуги примерно равна амплитуде колебаний. Выразим из формулы длины дуги угол через амплитуду колебаний x₀ и длину нити L. Подставим всё в уравнение, полученное из закона сохранения энергии (ЗСЭ) и получим:
Далее, используя первоначальные оптические соотношения, выражаем длину нити маятника:
Ответ: L = 4.36 м
Понравился разбор задачи? Проявите активность: лайк, репост, комментарий.
Если Вам нужна помощь или репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram