Здравствуйте, сегодня разберем одно из наиболее сложных заданий, встречающихся в ОГЭ по математике. Это задание на построение графиков функций и нахождение точек пересечения двух графиков.
Формулировка задания представлена на рисунке:
График функции, заданной в таком виде, строить не очень удобно. Поэтому ее нужно как-то преобразовать. Сразу заметим, что, если раскрыть скобки в знаменателе, то там появится х в квадрате. Т.к. дробь заменяет знак деления, то становится понятно, что, разделив числитель на знаменатель, мы получим уравнение параболы.
Знатокам математики предлагаю разделить многочлены в столбик и поделиться результатом в комментариях.
А мы продолжим решать традиционным школьным способом. Для этого, нам нужно разложить числитель на множители. Выпишем его отдельно, приравняем к нулю. Затем, методом замены, получим корни этого уравнения.
Разложим уравнение, с переменной t на множители.
После этого можем вернуться к замене и разложить исходное уравнение на множители, используя формулу разности квадратов.
Получается, что числитель может быть представлен в виде произведения четырех множителей. Заметим, что два из них содержатся и в знаменателе исходной функции. Значит, мы можем их сократить. Однако, не стоит забывать о том, что знаменатель дроби не может равняться нулю. (Почему нельзя делить на ноль я рассказывала в своей статье). Поэтому нам нужно учесть ОДЗ и записать, что х не может принимать значения, равные "-2" и "3". И не забыть об этом при построении графика:
Теперь перед нами обычное уравнение параболы, имеющей две выколотые точки. Чтобы построить ее, найдем координаты вершины:
Теперь нам остается только построить график и выколоть на нем точки, координата x которых принимает значение равное "-2" и "3", предварительно посчитав, чему будет равна в этих точках координата y. Эти точки выделены на графике:
Теперь вернемся к вопросу задачи. Нам нужно указать, какие прямые, параллельных оси Х, пересекают наш график только в одной точке. Рассмотрим, в каких случаях это возможно:
- Первый, и самый простой случай, это, когда прямая будет касательной к нашему графику. Тогда она должна касаться графика нашей функции в вершине. Координату y для вершины мы рассчитывали ранее. Она равна "-6,25". Т.е. уравнение прямой будет иметь вид: y=-6.25.
- Второй случай более интересен. Он возникает благодаря тому, что на параболе есть выколотые точки. Тогда, если прямая пройдет через одну из них, то она пересечет наш график только в одной точке. Так как таких точек - две, то и прямых тоже две. Это прямые y=-4 и y=6.
Для наглядности, проведу эти прямые на графике:
Как Вы видите, задание не очень сложное, но опасность таится в двух выколотых точках. Многие, забывают о них и получают в ответе не три, а только одну прямую.
Если Вы умеете делить многочлены в столбик, то это задание окажется еще более легким. (Не забудьте поделиться результатами в комментариях).
Если Вам понравился этот разбор, то подписывайтесь на мой канал, там уже много решенных задач из ОГЭ и ЕГЭ.
Если хотите подробнее изучить №22 из ОГЭ, то смотрите разбор еще одного номера: Задание №22.