В пару действий: Окружность проходит через вершины параллелограмма | ЕГЭ №16 Профиль

Разбор задания №16, взятого из сборника вариантов для подготовки к ЕГЭ, вторая часть, профильный уровень. На этот раз задание из варианта №13. Планиметрия. Начнём.

Условие

Вариант 13. Часть 2. Задание 16

Рассуждение

• Окружность проходит через три вершины параллелограмма — вписанный треугольник ∆ABD;
• ... пересекает сторону BC в т. M, значит ABMD – вписанный четырёхугольник с параллельными основаниями – трапеция, равнобедренная, AB = MD = CD;
• ... пересекает продолжение CD и сторону BC – две секущие проведённые из т. C;
• AM и AN – хорды окружности, проведённые из одной точки;
• Отношение AB : BC = MD : BC = CD : BC;
• Известен косинус – скорее всего теорема Косинусов, скорее всего через косинус угла ∠C.

Доказательство (пункт а)

Для доказательства пункта а дополним рисунок ещё двумя отрезками и заметим, что доказать надо равенство двух хорд, значит равенства двух вписанных углов, опирающихся на эти хорды, будет достаточно.

Докажем равенство углов ∠ABN и ∠ADM:

1. ∠MBN + ∠MDN = 180° — т.к. BMDN вписанный четырёхугольник;
2. ∠MDC + ∠MDN = 180° — смежные углы;
3. ∠MBN = ∠MDC — из пп. 1 и 2;
4. ∠ABN = ∠ADM — т.к. противолежащие углы параллелограмма равны и углы из п. 3 равны;
5. AM = AN — хорды, на которые опираются равные вписанные углы.

Решение (пункт б)

Рисунок оставим прежний, для удобства добавим равные отрезки.

1. CM = 2 • CD • cosC = 0,8 CD — по т. Косинусов в равнобедренном ∆MCD;
2. CD : BC = CM : CN = 1 : 3 — пропорциональные стороны в подобных по двум углам (п. 3 из доказательства выше и общий угол ∠C) треугольниках ∆BCN ~ ∆MCD;
3. CN = 3 CM = 2,4 CD — из пп. 1 и 2;
4. CD : DN = CD : (CN – CD) = CD : 1,4 CD = 1 : 1,4 = 5 : 7

Ответ: 5 : 7

Заключение

Максимально короткие доказательство и решение, поэтому тоже коротко, что пригодилось:

• Свойство углов вписанного четырёхугольника;
• Смежные углы;
• Теорема Косинусов;
• Подобие и пропорциональные отрезки.

Применение

Ничего примечательного в этом задании нет. Хорошая и довольно простая задача, такое же доказательство. Главное, что можно решить в пару действий. Похожая задача есть в варианте №14, пробуйте решить её, пробуйте решить по-другому, делитесь решениями в комментариях. Удачи!

Разбор других вариантов:

• Вариант 11
• Вариант 9
• Вариант 7

#экзамены #математика #геометрия