Геометрические задачи зачастую могут пленить своей красотой. Сегодня решим как раз такую. Она примечательна не только кратким условием, но и тем, что предлагалась для решения американским школьникам, проходившим отбор в команду США на международную математическую олимпиаду в далеком 2001 году. Условие:
Найти площадь заштрихованного треугольника, если площадь прямоугольника равна 10. Условие скудновато, но ничего страшного. Общая канва доказательства такая: найти искомую площадь как разность двух площадей треугольников. Попробуйте сами, а потом смотрите решение.
******************************************************************************
РЕШЕНИЕ
******************************************************************************
Заштрихованные треугольники на рисунке подобны по двум углам: смежному и при основаниях прямоугольника. Отличная новость: значит мы можем легко найти отношение их высот, как отношение двух сторон: S/2 на S/3. Получили выражение для x. Едем дальше:
Построили еще один треугольник и абсолютно аналогичным образом находим соотношение высот. Все исходные данные собраны! Возвращаемся к исходному рисунку:
Находим ответ как разность площадей треугольников. Самое классное, что ответ не зависит от соотношения сторон прямоугольника: как бы мы его не сжимали или растягивали, при неизменной площади, ответ тоже не поменяется. Спасибо за внимание! Предлагайте в комментариях свои решения задачи!