Итак, требуется просто вычислить данную сумму от n = 1 до n = 100 от выражения, зависящего от комплексного числа, возведенного в переменную, по которой идёт суммирование.
Как вам кажется, можно ли решить данную задачу аналитически? Насколько трудной она вам показалась?
Дадим вам немного подумать самостоятельно. А после картинки будет решение и разбор. Пока остановитесь на этом моменте, возьмите кусочек бумаги, карандаш и попробуйте накидать первое решение, которое пришло вам в голову. Попробуйте решить без использования средств вычислительной математики.
Решение:
Да, на самом деле задача решается аналитически. При этом достаточно помнить только школьные формулы алгебры. Нам понадобится иметь представление о комплексных числах, а именно вспомнить упрощающие преобразования, такие как домножение на комплексно-сопряженное. Нам понадобится вспомнить возведение в степень комплексного числа, а в частном случае - мнимой единицы. Ну а когда речь заходит про суммы, первое что мы должны вспомнить - это геометрические прогрессии. Именно они позволяет оценивать сходимость некоторых сумм из дискретной математики и теории алгоритмов.
Итак, погнали:
Подтвердить наши вычисления мы можем с помощью явного суммирования для комплексных чисел. Код на Python:
Можно заметить, что возведение мнимой единицы в степень дает вращение радиус-вектора в комплексной плоскости. При этом 4-ая степень возвращает один полный оборот. Тогда, разбивая на группы по 4 штуки, получаем 25 групп, сумма каждой равна нулю, т.к. идет взаимной уничтожение векторов в комплексной плоскости. Представим это следующим рисунком.
Если Вам нужна помощь или репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать в группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram