Здравствуйте! Сегодня хочу поговорить о таком феноменальном явлении в математике как мнимая единица.
Многие, даже окончив школу, хорошо помнят формулу вычисления корней квадратного уравнения:
Давайте, с помощью этой формулы, попробуем решить простейшее квадратное уравнение.
В школе, в таком случае, мы радостно писали "действительных корней нет" и считали, что дошли до финиша. Однако, математики уже давно умеют искать корни таких уравнений. Они даже специально придумали такой термин, как "мнимая единица", при том в некоторых случаях эта единица даже не одна.
Немного информации о мнимой единице:
Закрадывается вопрос: а откуда она, такая интересная, появилась? Ну, натуральные числа - понятно, нуль - понятно, отрицательные числа и, даже, дроби - тоже ясно. Но, что это за причина толкнула математиков изобрести число, квадрат которого равен "-1"?
Может показаться, что математики просто хотели решать любые квадратные уравнения. Однако, это большое заблуждение. чтобы убедиться в этом, давайте немного поработаем с общим видом квадратного уравнения:
Таким образом, чтобы найти корни, нам нужно всего лишь найти пересечение квадратичной параболы и некоторой прямой. Посмотрим, какие возможны случаи:
Т.е. наша прямая
1) является касательной к графику параболы (прямая y=0). Тогда у уравнения один корень, т.к. одна точка касания
2) пересекает параболу (фиолетовая прямая). Тогда у уравнения два корня, т.к. две точки пересечения
3) не пересекает параболу (зеленая прямая). Тогда у уравнения корней нет
Таким образом, никаких противоречий не возникает, ну нет корней - и, ладно. Зачем же математикам мучаться и что-то неведомое выдумывать.
Однако, проблема подкралась незаметно. Вскоре, после квадратных уравнений, появились кубические уравнения и Кардано придумал формулу, по которой их можно быстро решать.
Немного преобразуем кубическое уравнение:
Таким образом, чтобы найти корни кубического уравнения, нужно найти точки пересечения кубической параболы с некоторой прямой.
Посмотрев на график, мы можем убедиться, что любая прямая "рано или поздно" пересечет нашу параболу. Это значит, что, в отличие от квадратного уравнения, кубическое уравнение всегда будет иметь корни.
Запишем формулу Кардано и убедимся в необходимости введения мнимой единицы.
Как мы видим, в этой формуле используется операция извлечения квадратного корня. И с кубическим уравнением уже нельзя так легко отделаться и написать "действительных корней нет". Теперь-то мы точно уверены, что они есть. Вот тут-то математики и решили изобрести новое число, чтобы без труда извлекать корень из отрицательных величин.
Именно Кордано попробовал работать с мнимыми числами, однако, признал их бесполезными. А вот другой математик - Бомбелли, смог их обуздать и практически применить. Именно он заложил основы работы с мнимыми числами.
Получается, что мнимая единица никакое не извращение, а необходимость.
