Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу продолжить рассказывать Вам об аксиоматических началах математики и хочу затронуть такую важную вещь, как непрерывность (полноту) множества вещественных чисел. Поехали!
Этого вопроса я уже касался в формулировке Дедекинда, когда рассказывал про его метод сечений, но сегодня пришло время абсолютно тривиальной формулировки, от которой, впрочем, зависит очень и очень многое в математическом анализе. Дело в том, что до формулировки этой аксиомы те или иные доказательства часто опирались на геометрические построение или очевидность, что не всегда хорошо.
Итак, формулировка аксиомы и поясняющий рисунок:
А теперь словами: для множеств А и B, для всех попарных элементов которого выполняется условие a≤b, всегда существует такое ε, для которого выполняется последнее неравенство. Иначе говоря, как бы мы не приближали границы множеств друг к другу, всегда найдется какое-то число, которое можно "воткнуть" между ними.
Особое внимание стоит обратить на тот факт, что данная аксиома постулируется только для вещественных чисел. Действительно, для рациональных чисел всегда можно привести контрпример:
Для множеств А и B, как и раньше, выполняются условия попарной сравнимости, однако среди рациональных чисел не существует такого, которое при сужении границ будет тем самым ε. Такое число может быть только иррациональным - √2.
Кстати, в зависимости от трактовки аксиома непрерывности может быть заменена теоремой. Однако, это ничего не меняет: как завещал Гёдель любая теорема - это лишь последовательность суждений, всё равно ведущих к аксиоме.
С помощью аксиомы непрерывности доказывается множество разных теорем и даже существование арифметических корней и логарифмов (даже это требует доказательства!). Однако, первое, о чём я хотел рассказать, опираясь на этот материал - это лемма о вложенных отрезках - фундаментальное утверждение, непосредственно следующее из аксиомы непрерывности (полноты) действительных чисел.