Прежде чем говорить о каких-то особенных принципах решения систем уравнений скажем пару слов о самых известных общешкольных методах.
Самый популярный способ решения – это метод подстановки. Суть его в том, что мы выражаем из какого-нибудь соотношения в системе одну переменную через другую и поставляем в другое соотношение. Обычно школьники неплохо владеют этим методом.
Далее идёт метод алгебраического сложения. Он тоже достаточно популярный. Однако, если не понимать, что реальная цель этих действий — это избавление от одной из переменных, то неясно, зачем мы мучаемся и не решаем знакомой подстановкой. Понимание эффективности этого метода возникает позже после многократного решения систем, в том числе и более продвинутыми методами.
И наконец, третий метод, который ещё как-то проходят в обычной школе, — это метод замены переменных. В отличие от схожего приёма в уравнениях, здесь часто заменяется выражение, зависящее от двух (редко нескольких) переменных.
Нет смысла описывать эти способы решения, так как они в целом общеизвестны.
Есть, конечно, и для этих тем сложные задачи. Например, с неочевидной заменой или с громоздкими коэффициентами. Но чтобы с ними справляться нужен скорее опыт, нежели знание какие-то особенных методов или приёмов.
Поговорим о менее очевидных вещах.
**********
Зависимость от х/у.
В целом этот способ решения систем является продолжением метода замены переменных, но все же у него есть свои особенности.
Во-первых, в подавляющем большинстве подобных систем замена происходит лишь в одном из уравнений. То есть мы решаем одно уравнение через переменную t =x/y. После этого выражаем одну переменную через другую: x =ty. И потом подставляем её во второе уравнение. Получаем уравнение уже от одной переменной, решаем его и приходим к решению всей системы.
Если решений для t несколько, то нужно будет рассмотреть каждый случай отдельно.
Например, вот такая система:
В ней очевидна замена t=x/y для первого уравнения. И хотя после этого оно становится кубическим, всё же в нём легко найти один из корней подбором, а для поиска остальных достаточно поделить на соответствующий многочлен.
Во-вторых, не все чётко понимают, что выражения с y/x для нас тоже приемлемы. Дело в том, что если t=x/y, то можно рассмотреть обратную дробь y/x=1/t. Исходное уравнение в итоге превращается в дробно-рациональное относительно t . Его мы решаем уже знакомыми способами.
Системы ниже решаются именно с учётом этого наблюдения:
В-третьих, важным подтипом подобных уравнений являются однородные уравнения. Если одно из уравнений системы является таковым, то мы легко сможем свести его к соотношению x/y.
В первом уравнении делим на y², то есть на старшую степень одной из переменных. В итоге получаем квадратное уравнение относительно выражения x/y.
При делении нужно всегда помнить, что мы должны отдельно проверять случай y=0, иначе мы рискуем потерять корни.
Симметрия относительно x и y
Другой часто встречающийся случай – симметричные системы. Это такие системы, в которых любая упорядоченная пара чисел (m;n) при подстановке в исходную систему, даёт такие же равенства как и пара (n;m). Иначе говоря, мы можем в исходной системе поменять числа x и y местами и от этого уравнения в системах не изменятся.
То есть при решении постарайтесь разглядеть симметричная система или нет.
Вот эти системы симметричные:
А вот эти нет:
Если в уравнении есть минусы, то это повод насторожиться и ещё аккуратнее исследовать его на симметричность.
Так вот если в итоге система оказалась симметричной, то мы всегда можем выразить каждое из её уравнений через а=х+y и b=ху.
Здесь нужно помнить, что
Не обязательно знать все эти формулы наизусть (хотя первую — желательно). Однако, все их нужно уметь быстро выводить.
Вычесть/сложить и разложить на множители
Обычно это работает, когда системы очень похожи и после вычитания нет свободного члена. Первый признак выдает зависимость от x+y или x-y, а второй нужен, чтобы получившееся произведение приравнялось к нулю.
Вот здесь разумно сначала вычесть уравнения и получить одну зависимость, а потом те же самые уравнения сложить и получить другую зависимость:
Здесь напрашивается вычитание:
Здесь тоже срабатывает вычитание, так как слева появляется удобная разность квадратов:
И, наконец, менее очевидная система:
Тут стоит попробовать вычесть из первого уравнения второго, так как правые выражения равны между собой. В итоге надежда на удачное разложение на множители левых частей оправдывается.
Разложить и поделить
В некоторых примерах можно перенести свободные члены вправо и пробовать разложить левые части на множители.
Здесь мы ожидаем, что после разложения мы увидим одинаковые множители, сократятся после деления.
Избавиться от лишнего
Довольно часто в системе есть некоторые множители или слагаемые, которые заметно выделяются в общей структуре уравнений. Например, все слагаемые имеют степень не выше квадрата, а одно имеет пятую степень. Или везде нормальные одночлены, а в дополнении к ним идёт как-либо неудобная дробь.
Иногда система имеет вид «почти»: почти однородная, почти симметричная, почти получается разложить на множители и т.д., но ей что-то мешает.
Поэтому разумно попытаться избавиться от данных помех путём каких-либо алгебраических преобразований.
Например, есть стандартный подход для некоторых почти однородных уравнений:
Здесь нужно просто избавиться от свободных членов справа, просто домножив первое уравнение на 8, а второе на 17 и вычтя полученные результаты.
В следующем примере в каждом уравнении выражения слева зависят от x/y, а справа похожие дроби.
Чтобы избавиться от них достаточно первое уравнение домножить на 3, а второе на 2, и после этого вычесть. В итоге получим уравнение, которое зависит только от x/y.
А в уравнениях ниже явно выделяется одночлен y³:
Поэтому разумно умножить первое уравнение на 2 и вычесть уравнения. При этом уничтожаются и свободные члены, что в итоге приводит нас к однородному уравнению.
Много линейных уравнений
До этого мы рассматривали алгебраические уравнения. Для линейных же систем порой достаточно метода подстановки или алгебраического сложения с правильными коэффициентами. Однако, если уравнений и переменных довольно много, то в таком случае стоит попробовать все их сложить. Полученное выражение довольно часто бывает полезным для дальнейших исследований.
Например,
Складывая уравнения получаем соотношение
И, наконец, вычитая из полученного выражения каждое из уравнений, легко находим значения каждой переменной
Добыть однородность
Наконец, очень коротко обсудим ещё один принцип исследования систем уравнений. Его можно назвать обобщением для некоторых пунктов выше, однако это в первую очередь более продвинутая попытка свести всё к переменной x/y. Мы еще поговорим отдельно про этот способ, так как в учебниках и методичках я его не встречал.
Итак, когда вы перепробовали обычные приёмы, то можно обратить внимание на следующее следующее. Довольно часто в каждом уравнении системы можно разбить слагаемые по степени однородности. То есть часть одночленов может иметь какую-то одну определенную степень, а часть другую. Так вот разумно перенести все слагаемые с одной степенью в левую сторону, а с другой в правую.
Например, у вас есть такая система:
В первом уравнении одночлены имеют степени только 4 и 3, а во втором только степени 2 и 3.
Разумно перенести все слагаемые с разными степенями в разные стороны уравнений. Получаем следующую картину:
Уже на этом этапе можно попробовать разложить на множители левые и правые части и если есть общие множители, то попробовать поделить уравнения.
Далее постараемся сделать так, чтобы появилось какое-нибудь однородное уравнение. Для этого в нашем случае разумно перемножить отдельно левые и отдельно правые части, а потом результаты приравнять. Дело в том, что в таком случае слева и справа у нас будет ровно шестая степень, что указывает на однородность.
В таких конструкциях довольно часто сразу удаётся вынести за скобки соответствующие степени x и y , поэтому можно на них сократить. Конечно, предварительно нужно будет проверить случай, когда x=0 или у=0.
Получили однородное уравнение, которое можно будет разделить на соответствующую старшую степень y⁴. Получим рациональное уравнение, которое уже можно будет пробовать решать.
Конечно, у данного метода есть много нюансов. Например, для наглядности мы перемножали уравнения, хотя правильнее было бы добывать однородность через деление и чуть иначе. В нашем же случае не факт, что полученное уравнение четвёртой степени вообще удастся решить. Да и использовали мы тут модельную систему из двух переменных, в которой сразу видна однородность. А бывают случаи с тремя и более переменными, в которых всё не так очевидно.
Так как способ не совсем известный и тривиальный, то мы ему посвятим отдельную статью.
**********
Напоследок общее пояснение ко всем указанным выше приёмам.
Это не столько методы решения, сколько некоторые соображения о том, как можно рассуждать при решении систем уравнений. Никакой подобный перечень не даст вам исчерпывающего алгоритма, как действовать в каждом конкретном случае. Скорее это разумные шаги, которые принято делать в первую очередь при решении подобных заданий. Перепробовав их, можно уже приступать к более глубоким размышлениям. Например, попробовать скомбинировать какие-то из указанных идей или перейти к другим менее формализуемым методам вроде метода оценки.
И пара слов для тех, кто претендует на какие-то высокие места в сравнительно простых технических перечневых олимпиадах.
Вам эти принципы знать обязательно.
Конечно, Всерос или Межнар с помощью них не выиграть. Но если вы не знаете этих методов, то на более серьёзных олимпиадах вам делать нечего.