Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Решил сегодня тряхнуть стариной и обратиться к одному из самых любимых математических методов - методу неопределенных коэффициентов, перед которым падают ниц даже самые страшные дробно-рациональные функции. Предлагаю посмотреть, как это происходит. Поехали!
Итак, в качестве примера возьмем правильную дробь (степень многочлена числителя меньше, чем степень многочлена знаменателя), которую постараемся разложить на простейшие.
Такая задача чаще всего возникает, когда необходимо взять интеграл от дробно-рациональной функции.
В первую очередь необходимо разложить знаменатель. Такое разложение всегда возможно, при чем известно, что оно будет единственным и представлять собой комбинацию двучленов и одночленов. В нашем случае применяем схему Горнера, которую я описал в прошлой статье:
Ну что ж, применяем метод неопределенных коэффициентов, а затем приводим все дроби в одну монструозную:
Теперь наша задача приравнять коэффициенты при степенях у числителей исходной и полученной дроби. Чтобы не ошибиться. я всегда делаю разные линии подчеркивания: прямые, волнистые и т.д. В итоге получим вот такую систему линейных уравнений:
Получив коэффициенты, конечно же необходимо подставить и проверить решение системы. В нашем случае всё сходится великолепно, поэтому с чистой душой можно писать ответ:
Теперь осталось перевести дух и проинтегрировать всё это безобразие... Но на сегодня хватит. Спасибо за внимание!
Читайте также: