Подробное решение — в конце статьи.
Заключительная задача в трилогии с углами. После предыдущих двух эта очень даже простая, но это не точно...
Снова нужно найти угол, теперь это ∠AMB. И тут, хорошо вспомнить, как сказал один Уважаемый читатель (он же «Наблюдатель»):
Лучше не "найти перпендикуляр" - чего его искать, ткнул пальцем и нашёл! Надо: "найти длину перпендикуляра".
Поэтому формулировка в заголовке - точнее. Найдите величину угла ∠AMB. Верьте ей.
Условие
В треугольнике ∆ABC известны углы ∠A = 45°, ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M так, что CM = 2AC. Найдите ∠AMB.
Обновление от 9.04
Дальше будет решение которого не было до этого. Решений в комментариях увидеть не получилось (на момент обновления), только ответ.
Решение
Коротко — на анимации выше, подробно — по пунктам ниже.
- ∠ACB = 120° — по сумме углов треугольника ∆ACB;
- ∠BCM = 180° - ∠ACB = 60° — смежные углы;
- Проведём высоту MO и рассмотрим треугольник ∆CMO;
- ∠CMO = 30° — по сумме углов треугольника ∆CMO;
- CO = 1/2 CM = AC = CE = EM — свойство угла 30° в прямоугольном треугольнике;
- Проведём AO так, что ∆ACO — равнобедренный;
- ∠CAO = ∠COA = 30° — углы при основании равнобедренного треугольника;
- ∆AMO — равнобедренный (углы при основании AM по 30°);
- ∆AOB — равнобедренный (углы при основании AB по 15°);
- AO = OM = OB — следует из пунктов 8 и 9;
- ∆OMB — равнобедренный и прямоугольный (из пп. 3 и 10);
- ∠OMB = 45° — угол при основании равнобедренного прямоугольного треугольника;
- ∠AMB = 30° + 45° = 75° — искомый угол.
Предыдущие задачи:
⚡Найти угол / Геометрия / 7 класс - вторая часть «трилогии».
⚡Как найти угол MAC? - первая часть «трилогии».