Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Постоянному читателю моего канала конечно известно, что такое рациональные числа. Напомню, что это числа вида m/n, где m - целое, а n - натуральное число. Однако уже в древней Греции было известно, что есть и числа, которые нельзя представить в виде такой дроби.
Греки назвали их иррациональными, однако долгое время не удавалось построить их точную аксиоматику, определить эти самые "неразумные" (иррациональные) числа через арифметику "разумных". Сделать это окончательно удалось лишь в 1858 году немецкому математику Рихарду Дедекинду в статье "Непрерывность и иррациональные числа". Причем вышло у него всё настолько тривиально и одновременно красиво, что грех этим не поделиться. Поехали!
Сам Дедекинд был очарован идеей выразить иррациональные числа как следствие "простейшего арифметического акта - счёта, который представляет собой последовательное представление бесконечного ряда положительных целых чисел, каждое из которых определяется числом, ему предшествующим". Со сложением и умножением таких чисел проблем не было : каждый результат этих операций являл собой число из этого ряда.
Возьмем все натуральные числа. Сложив 5 и 7 мы получим число 12 из того же класса. Умножим 5 на 7 получим 35 - число тоже натуральное.
Однако с вычитанием и делением ситуация проблема. Определив вычитание (например, 5 - 7 = -2 - число из другой "вселенной", относительно натуральных) , мы дополнили натуральные числа отрицательными, выделив класс целых чисел. Операция деления (5/7 - на пальцах не посчитать) заставила ввести и рациональные числа. Выбросив из них 0, математики "замкнули круг", определив поле рациональных чисел R, замкнутое относительно четырех арифметических операций.
Что мы знаем об этом поле? В нём существуют понятные каждому законы:
1. Если число a > b, b > c, то a > c. На числовой прямой, иначе говоря, это будет значить, что b лежит между a и c.
2. Если a и b различные числа, то между ними существует бесконечное количество других чисел.
3. Если a - есть рациональное число, то все числа в R распадаются на два класса: те, которые на числовой прямой лежат слева от а (класс А2) и те, которые лежат справа от a (класс А1). Для каждого числа из класса А1 известно, что оно меньше числа из класса А2:
Само число а можно произвольно отнести к первому или второму классу, но самые важный вывод в том, что получено определение рационального числа а как сечения (A1, A2). С другой стороны понятно, что каждое заданное таким образом сечение определяет натуральное число.
Но есть ли сечения, которые не могут быть проведены рациональными числами? Конечно, и их бесконечное количество. Самый простой пример - это √2, совершивший революцию в восприятии числовой прямой, ставший удивительным подтверждением её непрерывности и подтвердивший, что между рациональными числами есть пробелы.
На самом деле, сечение, производимое √2 имеет значительные различия от сечений, которые производят рациональные числа. Например, в классе А1 (красный цвет) нет наибольшего числа: мы сколько угодно можем приближать к √2 слева, применяя всё более точные рациональные дроби, но никогда не найдем "того самого наибольшего". Такая же ситуация и справа: для класса А2 (синий цвет) никогда не найти "наименьшего" в мире рациональных чисел.
Тогда Дедекинд постановил: всегда, когда мы будем встречаться с сечением такого вида, мы будем понимать под ним иррациональное число.
Таким образом, мы закрываем всю вещественную прямую плотным слоем рациональных и иррациональных чисел, а доопределив среди них отношение порядка и арифметические операции, порождаем совокупный класс вещественных чисел, каждое из которых может быть приближено рациональными числами с любой точностью.
Ценность теории Дедекинда в том, что им на основе наглядных геометрических соображений была выявлена сущность непрерывности - центрального понятия математического анализа, которое раньше использовали, ссылаясь на очевидность.
Сочинение Дедекинда до сих пор остается одним из самых доступных изложений теории вещественных чисел. Следующая попытка - уже не геометрическая, а конструктивная. Произойдет она почти через 24 года, а её автором будем "гений бесконечности" Георг Кантор. Но это - уже совсем другая история. Спасибо за внимание!