Приветствую вас, друзья. Сегодня будет очень краткая заметка по теме математического анализа. Допустим, вам нужно найти следующий предел:
Задача: Найти предел lim( ln(x² - x + 1) / ln(x¹⁰ + x + 1) ) при x → ∞
Решение:
Имеет место неопределённость вида [∞/∞].
Здесь возникает желание применить правило Лопиталя-Бернулли. Согласно этому правилу, предел отношения функций, стремящихся одновременно к бесконечности или к нулю (являющихся одновременно бесконечно большими или бесконечно малыми), равен пределу отношения их производных.
Да да, оно помогает справиться с самыми сложными и запутанными пределами, в которых есть неопределенности вида [0 / 0] или [∞/∞].
Но некоторые задачи подразумевают ограничение: не использовать правило Лопиталя. Как же тогда быть?
Без этого метода можно обойтись, вспомнив и применив свойства логарифмической функции. Вынесем за скобки старшие члены в аргументах логарифмов и воспользуемся свойством логарифма произведения и логарифма степени:
ln(x² + x + 1) = ln(x²·(1 - 1/x + 1/x²)) = ln(x²) + ln(1 - 1/x + 1/x²) =
= 2·ln x + ln(1 - 1/x + 1/x²)
ln(x¹⁰ + x + 1) = ln(x¹⁰·(1 + 1/x⁹ + 1/x¹⁰)) = ln(x¹⁰) + ln(1 + 1/x⁹ + 1/x¹⁰) =
= 10·ln x + ln(1 + 1/x⁹ + 1/x¹⁰)
Что получится в итоге:
Прошлая статья по теме пределов:
Математический анализ. Учимся решать пределы
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать в группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
