Итак, мы определись с тем, что на определенном этапе абитуриентам полезно изучать не только сами методы решения задач, но и знакомиться со сторонними размышлениями по поводу решения этих самых задач.
В самом деле, если во время подготовки школьники будут встречаться только с логически выверенными прямолинейными решениями, то у них может возникнуть искаженное представление о реальном поиске. Ведь он имеет скорее вероятностный характер, и вся цепочка рассуждений в голове у решающего не монолит, а набор отдельных коротких наборов звеньев, которые находятся в постоянной динамике. Их потом ещё предстоит собрать в единое стройное изложение.
Однако, у подобных живых рассуждений есть и недостатки.
Во-первых, они слишком субъективны. Действительно, многое зависит от преподавателя, его культуры решения задач, его способности к рефлексии и умении сформулировать и донести мысли до аудитории. При этом у разных решателей есть и свои любимые методы и приёмы, которые они предпочитают использовать в рассуждениях. Например, некоторые преподаватели не любят алгебраически решать задачи, и считают, что лучше идти элегантным чисто геометрическим путём. Другие являются сторонниками векторов и координатного подхода и любую задачу пытаются свести к ним. И так далее.
Во-вторых, эти рассуждения сильно зависят от самой целевой аудитории. Бывает так, что ученики уже хорошо знакомы, например, с гомотетией, а их пытаются в который раз провести через рассуждения с многочисленными подобными треугольниками. Кстати, поэтому при групповых занятиях нужно стараться делать группу максимально однородной. Абитуриенты должны быть одинаково подготовлены к восприятию мыслей преподавателя.
В-третьих, обычно такие живые размышления не системны. Немного странный аргумент, так как со стороны это кажется нормальным. Для неподготовленного человека мысли при решении выглядят свободными и не структурированными. Так абитуриенты часто не могут уловить общие закономерности в рассуждениях преподавателя. Лишь потом, познакомившись с определённым массивом таких размышлений и параллельно пробуя провести самостоятельные решения под чутким руководством тренера, ученики могут действительно разглядеть какую-то систему.
Однако, даже несмотря на эти минусы, польза от знакомства с подобными изложениями значительна.
Но при том, что почти все преподаватели понимают, что нужно показывать ученикам ход своих рассуждений, целенаправленной работы не происходит. Обычно школьники самостоятельно ищут различные метки и маркеры, которые подталкивают их мысли в правильном направлении. Некоторых олимпиадников именно так иногда и тренируют: просто решайте задачи по 10 часов в день, смотрите решения и будет вам счастье.
Хотя действительно невозможно придумать некий универсальный метод поиска решений, наши наблюдения показывают, что всё-таки школьникам можно немного помочь в освоении этого навыка. И пусть каждый преподаватель при решении задач рассуждает по-разному, но в спонтанных рассуждениях для каждой олимпиадной темы есть свои общие черты, на которые желательно указывать ученикам.
Можно даже провести небольшой эксперимент на любом методическом семинаре или мастер-классе. Но только на таком, где действительно хотят научить педагогов методическим вопросам, а не занимаются преадаптацией цифровизации компетенций.
Так вот если дать некоторую олимпиадную задачу группе преподавателей, которые имеют успешный опыт подготовки сильных учеников, то их естественные рассуждения будут плюс-минус одинаковыми. То есть существует некий набор типичный набор приёмов поиска решения, которые свойственны многим решателям. А если попросить коллегу помочь с решением задачи, то сперва он спросит: «А вот так пробовал? А вот так? А здесь раскладывал? А вот так записывал?» или задаст какие-то подобные уточняющие вопросы. И лишь когда он поймёт, что стандартные подходы не сработали, он может перейти к более творческим рассуждениям.
Таким образом любой решатель первым делом проходит некий чек-лист из общеизвестных типовых шагов до того момента, когда он реально крепко задумается над задачей. Так вот нам кажется, что для каждой темы можно составить перечень таких идей, которые разумно использовать на первых этапах решения.
Конечно, он многие из этих идей очень неформальны. Довольно часто, например, говорят, что нужно привести какое-то выражение к красивому виду. Для стороннего человека не понятно, в чём выражается такая красота. Но если подробнее расспросить решающего, то окажется, что он подразумевает под этим вполне конкретные вещи.
Собрав такие типичные шаги воедино, мы попробовали постепенно перейти от того, как МОЖНО рассуждать при решении задач, к пониманию того, как ЛУЧШЕ рассуждать при их решении. Именно в таком случае живое изложение хода решения будет нести в себе педагогическое зерно.
Начиная с одной их следующих статей мы будем постепенно выкладывать самые заметные маркеры и соответствующие типичные шаги, которые обычно делают при решении задач в конкретных темах.
Но надо всегда помнить, что подобные подборки не могут быть универсальными даже в рамках одной темы. В зависимости от области, к которой относится задача, эти идеи могут помочь как в 90% случаев, так и в 10%. То есть всегда будут оставаться задачи, для которых нужны или более специфические приёмы или более творческое их применение. И через выше уровень экзамена и олимпиады, тем меньше вероятность решения через такие типичные способы.
Другое наблюдение за процессом решения задач показало, что важны не только подходы к поиску идей решения задач, но и характер самого хода размышлений. Это можно назвать культурой рассуждения или даже гигиеной рассуждений. В каждой теме важно не просто решать задачу, но и стараться делать свои размышления эффективными. Для этого нужно знать, в каких ситуациях лучше сократить путь, а где вас могут ожидать подводные камни, и обращать на всё это пристальное внимание. Мы уже как-то писали о некоторых типичных ошибках, характерных для обычных школьников при решении уравнений и преобразовании алгебраических выражений. Теперь же мы попробуем обсудить тонкие моменты из других тем. В отличие от типичных шагов при решении, здесь мы будем говорить от том, как упростить себе жизнь и где нужно быть особенно аккуратными.
Проблема с подобной культурой рассуждения в том, что большинство этих приёмов слишком очевидны. Даже если удастся какую-то их часть перечислить (а подобные вещи ещё труднее формализуются), то всё равно они не важны сами по себе в вакууме. Главное то, как ими пользуются конкретные школьники в конкретных ситуациях.
В общем, эта тема пока совсем плохо поддаётся изложению, и мы ещё подумаем в каком виде лучше выкладывать материалы по ней.