Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Пару недель назад я уже писал о таком понятии как "отношение эквивалентности". Ознакомьтесь с этим материалом, потому что это - ключевой момент к теоретико-множественному пониманию определения "фактормножество".
Формул в этом материале не будет, так что смело листайте дальше. Материал на понимание.
Почему я в заглавии написал, что каждый из нас постоянно использует это понятие? Всё просто: мы делим людей на мужчин и женщин (надеюсь, в нашей стране по-другому никогда и не будет), яблоки на желтые, красные и зелёные, граждан на российских, украинских, американских и т.д. Реализуя эти мыслительные операции, мы каждый раз, сами того не понимая, строим фактормножество. Давайте разберемся подробнее в этом простом, но важном понятии. Поехали!
Итак, для начала определим на множестве людей "отношение эквивалентности" в виде согражданства. Мы называем его эквивалентностью потому, что оно удовлетворяет трем свойствам:
1. Симметричность. Если первый человек согражданин второго, то и второй - согражданин первого.
2. Рефлексивность. Любой человек является согражданином для самого себя
3. Транзитивность. Если первый и второй, второй и третий - сограждане, то первый и третий - тоже сограждане.
Теперь, обладая таким отношением, мы можем разделить всех людей на планете на т.н. "классы эквивалентности", в каждом из которых находятся лишь люди, имеющие одно гражданство. Иными словами мы имеем некий классифицирующий признак, отправляющий людей в одну и ту же "корзину":
Давайте будем считать, что каждый человек может иметь только одно гражданство.
Множество самих классов эквивалентности называется фактормножеством по отношению эквивалентности для данного множества и обозначается X/~.
Отображение X --> X/~ называется каноническим отображением и является сюръекцией (отображением "на"). Иными словами у каждого элемента фактормножества X/~ есть хотя бы один прообраз в множестве X.
Надеюсь, что данный материал станет полезным для тех, кто только начинает разбираться в теории множеств. В дальнейшем я расскажу о факторгруппах, факторкольцах, а, может быть, и о фактортопологиях. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Что такое трансцендентные числа ?