Перечисляя типичные ходы при решении систем уравнений, мы упомянули про необычный способ поиска решений, который обобщает сразу несколько методов.
Итак, давайте поговорим про него и узнаем, как можно добывать однородность.
***********
Для начала нам нужно четко понимать, какие системы мы уже умеем решать.
Например, если в системе есть однородное уравнение, то в решении можно использовать эту самую однородность.
В первом уравнении нужно просто разделить на старшую степень одной из переменных (например, на y²≠0) и тем самым перейти к решению рационального уравнения относительно x/y.
Также мы умеем решать уравнения вот такого вида:
После замены t =x/y задача сводится к дробно-рациональному уравнению и решается стандартным способом.
Итак, если мы научимся приводить некоторые системы к уравнениям подобного вида относительно x/y, то это значительно упростит нам жизнь. Хотя, конечно, не факт, что так мы решим задачу, ведь в результате может оказаться уравнение довольно высокой степени.
Давайте посмотрим, как разглядеть в очень разных с виду системах возможность их приведения к подобному виду.
Возьмём систему, которую мы исследовали в конце прошлой статьи. Там мы намеренно шли не самым эффективным путём, чтобы уже здесь обсудить более корректный алгоритм.
Система, которая предлагалась на экзаменах в МФТИ в 2000 году:
Мы видим какие-то совершенно несвязанные между собой дроби слева. Коэффициенты в уравнениях тоже слишком независимые, и не наталкивают на какие-либо размышления.
Но всё же здесь есть повод для оптимизма.
Внимательно посмотрим на дроби, а точнее на их окончательные степени. В первом уравнении у дроби x³/y² степень равна 3-2=1, а у дроби y/x степень нулевая. Во втором уравнении дробь имеет y/x² степень -1, а x/y имеет нулевую степень. Для свободных членов справа степени равны нулю.
Небольшое пояснение: в школе обычно принято работать с положительными степенями переменных и по ним определять степень соответствующих одночленов и многочленов. Например, 3x² имеет вторую степень, а 7x ⁵y³ имеет степень 5+3=8. Те же самые рассуждения можно распространить и на дроби, если представить деление на одночлен положительной степени как умножение на отрицательную степень. Таким образом, например, 6x⁴/y³=6x⁴y⁻³ имеет первую степень (4-3=1).
Итак, для слагаемых первого уравнения степени равны 1, 0 и 0; для второго -1, 0 и 0.
А теперь очень важный момент.
Обратите внимание: во-первых, каждое уравнение состоит из слагаемых только двух (!) степеней; во-вторых, разница между этими степенями одинакова (!) и равна единице. Это позволит нам путём нехитрых преобразований прийти к уравнению, зависящему только от x/y.
Чтобы этого добиться, мы должны перенести все слагаемые с одинаковыми степенями в одну сторону. То есть получим следующую систему:
Далее для удобства избавимся от дробей. Очевидно, что x,y≠0, поэтому первое уравнение домножим на 4xy², а второе на x²y:
В принципе, избавиться от дробей можно было и сразу, без переноса слагаемых. И в таком случае для поиска однородности и подсчета степеней одночленов не нужно будет отвлекаться на отрицательные степени.
Далее переставим для удобства левую и правую часть первого уравнения:
Это нам нужно для того, чтобы левые части уравнений имели меньшую степень, чем правые.
Итак, в первом уравнении слева степени 3 и 3, а справа степень 4; во-втором слева степень 2, а справа степени 3 и 3.
Теперь сравняем степени уравнений. Для этого нужно будет домножить второе уравнение на одночлен первой степени. Можно домножить как на x , так и на y . Здесь уже нужно подбирать в зависимости от удобства дальнейших преобразований.
Кстати, если нам нужно было бы умножать на одночлен третьей степени, мы бы выбирали уже из четырёх вариантов: на y ³, на xy ², на x ²y или на x ³.
Итак, домножим на x второе уравнение:
Теперь важная промежуточная цель достигнута. В каждом уравнении системы находятся одночлены одной и той же степени (третьей), а справа — другой (четвёртой). Именно такую конструкцию мы держали в голове, проводя все эти преобразования. Мы получили то, к чему стремились.
Теперь остался последний шаг – делим уравнения друг на друга:
А дальше уже дело техники. Сокращаем дроби:
В итоге получили дроби, в которых числители и знаменатели однородны и имеют одинаковые степени.
Теперь финальный аккорд: делим числители и знаменатели дробей на старшую степень одной из переменных. Здесь тоже надо учитывать вид уравнений. В некоторых случая лучше делить на соответствующую степень y , в некоторых – на старшую степень x . Наша цель состоит в том, чтобы получить как можно более удобное для решения дробно-рациональное уравнение.
В нашем уравнении разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x .
Далее делаем замену t=y/x и получаем легко решаемое дробно-рациональное уравнение, которое сводится к квадратному. Его корни t₁=2 и t₂=-8/15.
Получив зависимость y от x , решаем исходную систему методом подстановки.
***********
Давайте потренируемся на схожем примере, но уже без таких подробных комментариев.
Данная система была на экзаменах в МФТИ в 2006 году:
Лучше сразу избавиться от дробей, домножив первое уравнение на x ²≠0. После этого раскроем скобки слева:
В первом уравнении у одночленов только вторая и третья степени, во втором – первая и вторая. То есть два варианта для степеней у каждого уравнения. И разница между степенями одинакова, как нам и требуется.
Переносим одинаковые степени в одну сторону. Меньшие степени сделаем слева:
Сравняем степени левых и правых частей этих уравнений. Для этого домножим второе уравнение на y.
Делим левые и правые части (до этого нужно показать, что y≠0):
Справа числитель и знаменатель однородны и одной степени. Делим их на y³ и делаем замену x/y=t.
В конечно итоге получается кубическое уравнение, которое решается очевидным разложением на множители.
Получаем t₁=-1, t₂=1, t₃=-3/2, выражаем x через y и каждый случай решаем методом подстановки.
****************
Теперь небольшие комментарии.
Этот способ поначалу может показаться сложным. Но у него есть два неоспоримых преимущества.
Во-первых, он алгоритмичен. То есть при определённых начальных условиях, он рано или поздно позволит перейти к сравнительно простому уравнению относительно x/y или y/x. Единственное требование: нужно будет аккуратно подбирать множители, чтобы упростить себе вычисления.
Во-вторых, если вы его полностью поймёте и научитесь замечать удобные степени слагаемых в громоздких уравнениях, вы выработаете полезную привычку и в простых случаях будете сразу видеть решение. И здесь вас не будут смущать фразы «заметим, что» в решебниках, так как вы будете понимать, к чему нужно стремиться, что именно нужно замечать и на что смотреть в первую очередь.
Например, вот такая система не будет вызывать у вас трудностей, так как в ней сразу видна вторая и нулевая степень одночленов:
Можно, конечно, перенести одинаковые степени и делить по рассмотренному выше алгоритму. А можно не делить и после переноса просто алгебраическим способом избавиться от свободного члена. Это не важно. Главное, что, замечая подобную зависимость между степенями, вы понимаете принципиальную решаемость подобной системы и что рано или поздно вы её решите. А уж как вы это сделаете, зависит от вашей нарешанности.
Также использование этого метода может натолкнуть на какие-то дополнительные размышления. Не нужно думать, что перед вами серебряная пуля или какой-то сверхсекретный универсальный метод. Возможно, вы просто на пару шагов приблизитесь к решению. А может быть это ничего не даст.
Например, на прошлой неделе мы с учеником решали вот такую систему в натуральных числах:
Даже без раскрытия скобок легко заметить, что в каждом из уравнений есть слагаемые только первой и третьей степени. Переместив третьи степени в правую часть, получаем систему:
Делить уравнения не обязательно, можно просто избавиться от первых степеней слева. Домножим первое уравнение на a , а второе на b и вычтем.
Числа a и b натуральные, поэтому можно смело поделить на a²+b²≠0:
В итоге получили довольно интересное однородное выражение:
И хотя это преобразование не привело к решению задачи (исходная задача решается через свойства делимости), мы чётко увидели как подобные рассуждения могут привести к упрощению алгебраических выражений.
И наконец, данный подход может пригодиться составителям олимпиад. По сути, чтобы придумать задание с системой уравнений достаточно просто взять дробно-рациональное уравнение, сделать его относительно переменной x /y, домножить на какие-нибудь степени числители и знаменатели, а потом разбить на два уравнения. То есть, нужно пройти весь путь решения, но в обратную сторону.