Продолжаем изучать точные решения уравнения Общей теории относительности. В заметке про решение Шварцшильда я указал, что используется вакуумное уравнение: в пустом пространстве, с нулевым тензором энергии-импульса. Короче, вне гравитирующего тела. Никто не мешает использовать этот подход и в случае многих тел, почему нет.
Есть замечательная теорема, которая многое проясняет: теорема Биркгофа. Она гласит: сферически симметричное решение вакуумного уравнения статично (не зависит от времени) и асимптотически плоское (на бесконечности кривизна стремится к нулю). Это метрика Шварцшильда.
В третьем томе "Гравитации" Мизнера-Торна-Уилера сформулировано так:
Пусть геометрия данной области пространства-времени 1) является сферически симметричной и 2) представляет собой решение эйнштейновских уравнений поля в вакууме. Тогда такая геометрия с необходимостью является частью геометрии Шварцшильда.
Там же есть и доказательство, совсем короткое.
Собственно, рассуждения, которые приводят к метрике Шварцшильда, начинались с выписывания симметричной метрики в общем виде в сферических координатах. Но у Шварцшильда мы предполагали статичность, а теперь не предполагаем.
Получается такая метрика:
Это уже не так плохо, а мы еще уравнение Эйнштейна не использовали! Подстановка в него показывает, что A от времени зависеть не может. А тогда справедливы выкладки Шварцшильда: AT=const, и они имеют тот самый вид: T=1-a/r, где a - константа.
Ну, надо еще кое-что уточнить, но это делается.
В принципе, результат отчасти интуитивно ясный. Хотя есть неожиданность. Скажем, есть симметричная звезда, и она пульсирует: расширяется и сжимается, без нарушения симметрии. А поле, которое она создает, меняться не будет: оно статично.
Может показаться, что Шварцшильд и исчерпывает вакуумные решения. Не совсем так, но близко к тому.
Еще теорема Биркгофа дополняет гравитационный парадокс и теорему Ньютона о потенциале внутри шарового слоя таким следствием: сферическая полость в однородном пространстве обладает плоской метрикой. Иными словами, сферически симметрично распределенное вещество вокруг пустого шара не создает внутри шара гравитации.
Теперь это ясно: по теореме, метрика должна быть Шварцшильдовской при каком-то значении a. Но число a в этом случае может быть только нулем, ведь точка r=0 входит в область. Получается плоская метрика.
По Ньютону, гравитация внутри тонкого однородного сферического слоя тоже отсутствует. Пространство вне пустого шара можно расслоить на такие слои, каждый из которых не притягивает, и получить нулевую гравитацию. Но можно провести подсчет иначе и получить любой другой результат. Потому что интеграл сходится условно. Это проблема и составляет Гравитационный парадокс.
А в ОТО все однозначно. Дело не в расслоении, просто симметричное решение может быть только таким, и всё. Полость в бесконечной однородно заполненной веществом Вселенной гравитации не подвержена.
Поэтому, кстати, если Вселенная однородна (космологический принцип), то материя в любом шаре притягивается так, как если бы вне шара ничего не было.
До встречи, друзья.
