Прошлая задача (Пропорциональные отрезки и площадь четырёхугольника) не продержалась и дня. На этот раз предлагаю Вам решить такую же красивую, как и сложную, задачу с пропорциональными отрезками.
Попробуйте сперва самостоятельно, и ничего страшного, если не получится с первого (или даже со второго) раза - задание действительно сложное, требует дополнительного построения и рассмотрения нужных фигур. А задачи с дополнительным построением всегда сложные и интересные, развивают интуицию и заставляют хорошенько «пошевелить мозгами». В любом случае, пробуйте, экспериментируйте, если получается решить - делитесь своими решениями в комментариях, если не получается - обязательно разберём.
Задача
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки M, K и P так, что AM : MB = 4 : 1, BK : KC = 3 : 1, CP : PA = 2 : 1. Отрезки MK и BP пересекаются в точке O. Найдите отношение MO : OK и BO : OP.
Обновлено
С решение справились, его можно найти в комментариях, и решили через отношение произведений соседних сторон треугольника и площадей. Для разнообразия решим через пропорциональные отрезки.
Подготовка
Для решения нужно дополнительное построение, но сперва - что и для чего мы будем строить. Вспомним, что пропорциональные отрезки - это отношение отрезков, образованных при пересечении параллельными прямыми сторон угла.
Получается, нужны параллельные прямые. Прямые могут быть параллельны друг другу или уже имеющимся. Главное - пересечение сторон треугольника с известным отношением.
Например: построить прямую параллельную одной из сторон треугольника и проходящую через точку M, K или P.
Тут, «методом проб и ошибок» можно получить необходимые параллельные прямые. Обязательно, прежде чем продолжить, попробуйте нарисовать свой вариант и сравните. Отличаются, но получилось решить - делитесь.
Нарисуем все необходимые прямые, пары параллельных выделим одним цветом. Каждая из пар параллельна отрезкам MK или BP, отношение частей которых будем искать.
Решение
Для удобства, разделим на две части.
Часть I
1. ∆EBC, где MK||EC
BK : KC = BM : ME = 3 : 1;
ME = 1/3 BM — из предыдущего;
AM = 4 BM — из условия;
AE = AM - ME = 11/3 BM.
2. ∆AEC, где NP||EC
CP : PA = EN : NA = 2 : 1;
NE = 2/3 AE — из предыдущего;
NE = 22/9 BM — из 1-го заключения;
NM = NE + ME = 25/9 BM.
3. ∆NBP, где MO||NP
BO : OP = BM : NM = 9 : 25 — искомое отношение.
Часть II
1. ∆ABP, где MD||BP
AM : MB = AD : DP = 4 : 1;
DP = 1/5 AP — из предыдущего;
2. ∆PBC, где BP||KH
BK : KC = PH : HC = 3 : 1;
PC = 2 AP — из условия;
PH = 3/4 PC = 3/2 AP — из предыдущего;
3. DMKH, где DM||PO||HK
MO : OK = DP : PH = 2 : 15 — искомое отношение.
Ответ: 9/25; 2/15