Системы алгебраических уравнений – это одна из самых недооценённых тем в школьной программе, а также при подготовке к вступительным испытаниям.
С одной стороны, простейшие методы их решения знают многие ученики старших классов. Например, метод подстановки хорошо согласуется с методом замены переменной и фактически является его продолжением.
С другой стороны, на ЕГЭ систем уравнений как таковых нет. Поэтому и при подготовке многие не считают нужным прорешивать задачи из этой темы. Конечно, на экзамене могут быть системы неравенств с одной переменной, однако их решение предполагает иную механику. Неравенства на ЕГЭ независимы друг от друга, а связь между ними возникает только тогда, когда нужно работать уже с полученными множествами решений.
Такой вульгарно-утилитарный подход («нет на ЕГЭ – не буду решать») очень вреден для абитуриентов. Тема с решением алгебраических уравнений является как бы переходной между обычным и хорошим уровнем подготовки. И довольно часто именно с неё следует начинать системную работу по подготовке к вступительным олимпиадам и высокоуровневым задачам с ЕГЭ (наряду с решением уравнений высоких степеней и теоремы Безу, конечно).
И для этого есть целый ряд обоснований.
1. С этой темы начинается настоящее понимание однородных уравнений
Конечно, их решение можно показать и на примере обыкновенных уравнений с одной переменной. Но в конечном итоге иллюстрация этого метода сводится к замене некоторых выражений на f(x) и g(x), что в целом так или иначе соответствует работе с двумя переменными. Школьникам довольно сложно даются эти танцы с функциями, поэтому иллюстрация однородности сразу с помощью двух переменных в алгебраических системах гораздо более эффективна.
2. Переход от графиков к решению уравнений
Системы дают более глубокое понимание самого факта решения уравнения. Также они являются иллюстрацией графиков функций как множества точек. Отчасти это захватывает и задачи с параметром, так как там тоже есть подраздел с системами уравнений. Но они реже решаются через аналитические приёмы, характерные для обычных алгебраических систем. Чаще всего в подобных конкурсных задачах используется графический метод, который на ранних этапах работы полезно изучать с помощью именно систем уравнений.
3. Матрицы и линейные уравнения
Решение система линейных уравнений – одна из стандартных задач на первых курсах технических вузов. Параллельно с ней студенты знакомятся и с таким основополагающим понятием высшей математики как матрицы. Конечно, в отличие от школьных задач количество неизвестных будет значительно большим. Однако, плотное знакомство с системами линейных уравнений при подготовке к поступлению сильно облегчит жизнь в вузе. Технология «домножить уравнения на что-то и сложить» (а именно так обычно избавляются от переменных в подобных системах) хорошо работает и в высшей математике.
4. Равносильные переходы и деление
На системах очень удобно иллюстрировать равносильные переходы, а также связанные с этим трудности. Особенно это важно, когда возникают ситуации с потерей корней или, наоборот, с появление посторонних корней. Метод деления и умножения — один из самых используемых при решении.
5. Улучшение технических навыков и математической выносливости
Об этой большой теме мы ещё будем писать отдельно. Но в двух словах можно сказать следующее. Решение систем уравнений повышает культуру решения уравнений с одной неизвестной, развивает навык преобразования алгебраических выражений и помогает избавиться от арифметических ошибок.
6. Симметрия
Во многих алгебраических задачах полезно своевременно увидеть симметрию. Это не является какой-то сверхспособностью, хотя многих абитуриентов раздражают слова ютуб-решателей об очевидности какой-то симметричной замены. Один из действенных способов натренировать свой глаз на поиск таких закономерностей – решение симметричных систем. В них симметрию довольно легко обнаружить, что потом поможет её отыскать и в более неочевидных случаях.
7. Являются постоянным спутником решения задач различными алгебраическими методами
Абитуриенты, которые хорошо научились решать системы уравнений гораздо смелее переходят к моделям с несколькими неизвестными. В том числе лучше понимают принцип «число уравнений должно совпадать с числом неизвестных». Особенно это важно для планиметрических и текстовых задач.