На самом деле вопрос, вынесенный в заголовок, нужно даже уточнить: почему у числа «π» бесконечное количество цифр после запятой? Мы все еще со школы знаем, что число «π» равняется 3,14, но в действительности это лишь приближенное его значение - двух знаков после запятой вполне хватает для решения бытовых задач, ведь круги, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, не превышают нескольких метров в диаметре.
Если вы захотите повысить точность своих вычислений, то просто возьмете побольше знаков. Например, агентство NASA использует в своих расчетах полетов космических аппаратов число «π» с 15 знаками после запятой. Этого достаточно, чтобы вычислить орбиту Земли с точностью до 1 см. Для того, чтобы рассчитать окружность всей обозримой Вселенной с точностью до радиуса атома водорода, нужно взять «всего лишь» 40 знаков после запятой.
А ведь их там остается ой, как много. Например, компания Google 2 года назад рассчитала число «π» с 30 трлн. знаков после запятой, и это еще не предел. Знаков там намного больше, их просто бесконечно много. Даже если у вас есть время, сравнимое со временем жизни всей Вселенной, вы всё равно не сможете дойти до последней цифры, потому что за ней будет другая, затем следующая и так далее.
Поэтому нет ничего удивительного в том, что в этом бесконечном ряду цифр любой сможет найти свой номер телефона, и вероятность этого события равняется 100 %, просто нужно хорошенько поискать. Ведь что такое вероятность: это возможность того, что из ограниченного набора случайных чисел (например, миллиона) вы сможет найти определенную их последовательность (скажем, дату своего рождения). Чем больше набор, тем выше вероятность, чем длиннее последовательность, тем она ниже. Но когда перед вами бесконечный набор цифр, то смысл теории вероятности теряется, ведь в бесконечности можно найти что угодно. Например, последовательность 0123456789 встречается на 17 387 594 880 – ом знаке числа «π».
Так что такое число «π» и почему в нем так много знаков? Начнем с самого определения этой постоянной: это число, которое показывает во сколько раз длина круга больше её диаметра, причем нет разницы, какой величины круг вы возьмете: это соотношение будет одним и тем же для любого из них.
А теперь перейдем к тому, почему в нём так много цифр и для этого… начертим круг. Возьмем бумагу-миллиметровку, которая состоит из множества квадратиков со стороной в 1 мм и начертим круг.
Теперь попробуем узнать его площадь без формул. Для этого просто нужно сосчитать, сколько квадратов находится внутри круга. Сосчитав полные квадраты, мы перейдем к тем, которые находятся на границе. Вот только линия круга пересекает их, и узнать точно, какая часть квадрата осталась за линией, а какая – внутри, нельзя.
Окей, скажете вы, нет ничего проще: нарисуем квадратики поменьше внутри этих квадратов.
Сосчитаем число полных квадратиков, но, когда подойдем к крайним, то снова упремся в ту же проблему. Попробуем нарисовать внутри них квадратики еще меньше, но в итоге мы придем к той же проблеме, от которой пытались уйти вначале: линия круга будет пересекать часть маленьких квадратиков таким образом, что сосчитать их количество будет невозможно.
Вы можете уменьшать и уменьшать расчерчиваемые квадраты, они могут быть даже меньше размеров атома, но всё равно не сможете точно вычислить полную площадь круга. Плюнув на всё это дело, вы остановитесь на каком-то одном этапе «расчерчивания квадратов», решив, что достигнутой точности вам хватит с головой, и дальше считать не имеет смысла.
Спросите, при чем тут «π»? Да всё просто: площадь окружности – это половина его длины, умноженная на радиус, который мы знаем точно, ведь мы сами его выбираем. Та часть бесконечной точности, которую мы никак не можем достигнуть, останется на долю «π».
В действительности, когда мы делаем расчеты с использованием числа «π», мы вычисляем не круг, а его аналог – многоугольник, у которого так много граней, что его форма отдаленно будет напоминать круг. Всё, что останется за внешними пределами многоугольника – это та погрешность, которую вы откинули за ненадобностью. Например, если принять за «π» число 3, то вы имеете дело с шестиугольником, а если всем известное 3,14 – то перед вами 58-угольник. Чем больше знаков после запятой, тем больше граней у выбранного многоугольника. Но, как мы выяснили, кругом он всё равно не станет.
Вышеописанной закономерностью пользовались раньше, чтобы вычислить значение «π». Были и 96-угольники, и 720 угольники. Дальше всех пошел некто Людольф Цейлен, который в конце XVI века взял за основу многоугольник с 2^62 сторонами. Это позволило ему после 20 лет вычислений (!) узнать 35 знаков после запятой:
3,1415926535 8979323846 2643383279 50288.
Как вы понимаете, это был предел геометрического подхода, поэтому дальше пошли методом формул. При этом каждый знак после запятой вычисляется с помощью формулы с повышающейся сложностью, и на определенном этапе даже человек не в состоянии решить его за целую жизнь, поэтому сейчас всё это делают компьютеры. Вычисление числа «π», кстати, является одним из тестов производительности электронно-вычислительных машин.
Еще одним «полезным» применением числа «π» является доказательство того, что мы с вами живем не в виртуальной реальности. Если бы мы существовали внутри матрицы, то из-за ограниченности её вычислительных возможностей и объема памяти (а эти границы точно должны быть) даже число «π» с определенного знака после запятой начало бы повторяться, чего пока не наблюдается.
Так что в следующий раз, наливая кофе в свою круглую кружку, подумайте о том, что это не только весьма интересная форма для напитка, в ней еще заключена и непостижимая для человека бесконечность, а также доказательство того, что Нео среди нас, по всей видимости, не существует. И да – не пейте много кофе: говорят, для сердца вредно)))