Площадь произвольного четырёхугольника / Формула площади

Находить площадь фигуры можно не только по формулам, но чаще всего мы используем именно их. Первые формулы площади нам дают в 3 - 4 классах и это четырёхугольники - прямоугольник и квадрат. К сожалению, некоторые и эти формулы к экзамену не знают. Ну а мы рассмотрим задачу для решения которой будем использовать ещё более сложную формулу. Формулу площади произвольного (т.е. любого) четырёхугольника. Начнём?

Условие

Рис. 1. С.А. Шестаков, «Сборник задач. 9 класс»

Рассуждение

• В условии ни слова не сказано про диагонали;
• Точки M, F и K - середины сторон AB, AD и DC, а значит если их соединить, тополучатся отрезки соединяющие середины сторон (масло масляное);
• Отрезки FM и KF - известны, угол между ними ∠MFK - тоже, и это похоже на теорему косинусов, но MK - кажется бесполезным в решении отрезком.

Решение

Нарисуем произвольный четырёхугольник, то есть так, чтоб он не был похож ни на параллелограммы, ни на трапеции. И отметим середины сторон, известные отрезки и угол:

Рис. 2. ABCD - четырёхугольник; точки M, F и K - середины сторон AB, AD и DC

Отрезки MF и FK - соединяют середины сторон, что очень напоминает средние линии. Рассмотреть их помогут диагонали.

Рис. 3. BD и AC - диагонали четырёхугольника; точка E - точка пересечения диагоналей

Теперь видно, что MF - средняя линия в ∆ABD, а FK - в ∆ACD.

Рассмотрим ∆ABD:

Рис. 4. MF - средняя линия в треугольнике ∆ABD

По свойству средне линии треугольника (равна половине параллельной ей стороны), можно найти диагональ BD, будет в 2 раза больше MF:

BD = 12√3 см.

Аналогично найдём диагональ AC через ∆ACD:

AC = 20 см.

Теперь нам известны обе диагонали найдём угол между ними. Для этого рассмотрим четырёхугольник NEHF:

Рис. 5. NEHF - параллелограмм

Опять по свойству средней линий треугольника (только теперь параллельность стороне), определим тип четырёхугольника:

NEHF - параллелограмм ( противолежащие стороны параллельны).

Осталось найти площадь по формуле:

Рис. 6. Формула площади произвольного четырёхугольника через диагонали

Подставим в формулу найденные диагонали и синус 120° (равен синусу 60°) и получим ответ.

Ответ: 180

Заключение

В этом решении мы применяли:

• Свойства средней линии треугольника.
• Формула площади произвольного четырёхугольника через диагонали и угол между ними.

Применение

Понять, что Вам нужна именно эта формула площади обычно проще, чем в рассмотренной задаче. Вам будут давать длины диагоналей или угол между ними, а найти нужно будет площадь. Могут наоборот дать площадь и попросить узнать диагональ или угол между ними. Формула встречается в первой части ОГЭ: ссылка на задания из открытого банка заданий ОГЭ.

Попробуйте решить и похожую на ту, что мы разобрали:

Рис. 7. С.А. Шестаков, «Сборник задач. 9 класс»

Пробуйте, решайте, изучайте, делитесь решениями в комментариях. Удачи!