Найти в Дзене
Около ОГЭ • Математика
1059 подписчиков

Площадь произвольного четырёхугольника / Формула площади

1371
1 мин
Находить площадь фигуры можно не только по формулам, но чаще всего мы используем именно их.
Оглавление

Находить площадь фигуры можно не только по формулам, но чаще всего мы используем именно их. Первые формулы площади нам дают в 3 - 4 классах и это четырёхугольники - прямоугольник и квадрат. К сожалению, некоторые и эти формулы к экзамену не знают. Ну а мы рассмотрим задачу для решения которой будем использовать ещё более сложную формулу. Формулу площади произвольного (т.е. любого) четырёхугольника. Начнём?

Условие

Рис. 1. С.А. Шестаков, «Сборник задач. 9 класс»
Рис. 1. С.А. Шестаков, «Сборник задач. 9 класс»

Рассуждение

  • В условии ни слова не сказано про диагонали;
  • Точки M, F и K - середины сторон AB, AD и DC, а значит если их соединить, тополучатся отрезки соединяющие середины сторон (масло масляное);
  • Отрезки FM и KF - известны, угол между ними ∠MFK - тоже, и это похоже на теорему косинусов, но MK - кажется бесполезным в решении отрезком.

Решение

Нарисуем произвольный четырёхугольник, то есть так, чтоб он не был похож ни на параллелограммы, ни на трапеции. И отметим середины сторон, известные отрезки и угол:

Рис. 2. ABCD - четырёхугольник; точки M, F и K - середины сторон AB, AD и DC
Рис. 2. ABCD - четырёхугольник; точки M, F и K - середины сторон AB, AD и DC

Отрезки MF и FK - соединяют середины сторон, что очень напоминает средние линии. Рассмотреть их помогут диагонали.

Рис. 3. BD и AC - диагонали четырёхугольника; точка E - точка пересечения диагоналей
Рис. 3. BD и AC - диагонали четырёхугольника; точка E - точка пересечения диагоналей

Теперь видно, что MF - средняя линия в ∆ABD, а FK - в ∆ACD.

Рассмотрим ∆ABD:

Рис. 4. MF - средняя линия в треугольнике ∆ABD
Рис. 4. MF - средняя линия в треугольнике ∆ABD

По свойству средне линии треугольника (равна половине параллельной ей стороны), можно найти диагональ BD, будет в 2 раза больше MF:

BD = 12√3 см.

Аналогично найдём диагональ AC через ∆ACD:

AC = 20 см.

Теперь нам известны обе диагонали найдём угол между ними. Для этого рассмотрим четырёхугольник NEHF:

Рис. 5. NEHF - параллелограмм
Рис. 5. NEHF - параллелограмм

Опять по свойству средней линий треугольника (только теперь параллельность стороне), определим тип четырёхугольника:

NEHF - параллелограмм ( противолежащие стороны параллельны).

Осталось найти площадь по формуле:

Рис. 6. Формула площади произвольного четырёхугольника через диагонали
Рис. 6. Формула площади произвольного четырёхугольника через диагонали

Подставим в формулу найденные диагонали и синус 120° (равен синусу 60°) и получим ответ.

Ответ: 180

Заключение

В этом решении мы применяли:

  • Свойства средней линии треугольника.
  • Формула площади произвольного четырёхугольника через диагонали и угол между ними.

Применение

Понять, что Вам нужна именно эта формула площади обычно проще, чем в рассмотренной задаче. Вам будут давать длины диагоналей или угол между ними, а найти нужно будет площадь. Могут наоборот дать площадь и попросить узнать диагональ или угол между ними. Формула встречается в первой части ОГЭ: ссылка на задания из открытого банка заданий ОГЭ.

Попробуйте решить и похожую на ту, что мы разобрали:

Рис. 7. С.А. Шестаков, «Сборник задач. 9 класс»
Рис. 7. С.А. Шестаков, «Сборник задач. 9 класс»

Пробуйте, решайте, изучайте, делитесь решениями в комментариях. Удачи!

4