Найти тему
Около ОГЭ • Математика
1044 подписчика

Решение через всю Трапецию / ОГЭ №25

738
2 мин
Оглавление

Назовём эту задачу - «Путешествие по трапеции». Так много в ней известно, но всё равно это не простая «прогулка». Попробуем решить лаконично, но Вы всё равно предлагайте свои решения, особенно более короткие решения, они просто космос. В путь?

Условие

Рис. 1. Открытый банк заданий ОГЭ по математике (AA39FE)
Рис. 1. Открытый банк заданий ОГЭ по математике (AA39FE)

Рассуждение

  • Трапеция равнобедренная, а это значит: углы при основаниях равны; боковые стороны равны; диагонали равны; большее основание высотой, проведённой из вершины тупого угла, делится на два отрезка, меньший - полуразность, а больший - полусумма оснований.
  • Можно вписать окружность, а значит суммы противолежащих сторон равны.
  • Известен периметр, а значит известны суммы боковых сторон и оснований.
  • Через сумму оснований и площадь можно узнать высоту.
  • Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания - часть высоты.

Решение

Нарисуем сперва окружность, опишем около окружности равнобедренную трапецию, назовём её и покажем точки касания окружности всех сторон трапеции.

Рис. 2. ABCD - описанная около окружности равнобедренная трапеция
Рис. 2. ABCD - описанная около окружности равнобедренная трапеция

Суммы боковых сторон равны, а периметр 100.

Начнём с боковых сторон, сумма их 50 (половина периметра), а по отдельности AB = CD = 25.

Об основаниях известно только, что они в сумме 50 (половина периметра). Через полусумму оснований и площадь можно найти высоту трапеции.

Рис. 3. CH - высота трапеции
Рис. 3. CH - высота трапеции

CH = 20 - высота трапеции через площадь и полусумму оснований.

HD - полуразность оснований (свойство равнобедренной трапеции), которую можно найти по теореме Пифагора (ну или вспомнить про египетский треугольник 3:4:5) в прямоугольном треугольнике ∆CDH.

HD = 15 - полуразность оснований;
BC + AD = 50 - сумма оснований.

С помощью уравнения через полуразность и сумму оснований легко находим основания BC и AD:

BC = 10;
AD = 40.

Достроим недостающие диагонали и отрезок OE, который найдём через подобие треугольников.

Рис. 4. O - точка пересечения диагоналей; OE - расстояние до основания BC
Рис. 4. O - точка пересечения диагоналей; OE - расстояние до основания BC

∆BCO ~ ∆AOD по двум углам, вертикальным и накрест лежащим (при секущей AC и BC||AD). Коэффициент подобия - 1/4.

EO : OP = 1 : 4 - отношение соответственных высот;
EO = 4 - одна часть из пяти отрезка EP.

Ответ: 4

Заключение

Отличная задача, для решения которой применили:

  • Свойство сторон описанного около окружности четырёхугольника;
  • Свойства равнобедренной трапеции;
  • Теорема Пифагора;
  • Подобие треугольников.

Кстати, треугольники, образованные частями диагоналей и основаниями трапеции, подобны всегда, без исключений.

Применение

Ссылка на тренировочные задания из открытого банка заданий ОГЭ. Пробуйте, решайте, экспериментируйте и делитесь своими решениями в комментариях. Кто смог решить «за 5 сек»? Есть такие?

2