В интернете эту задачу называют задачей, которая поставила Америку в тупик. Я не знаю причем тут Америка. Но то, что она в тупике, я уверен на 99%. Скажу больше, большинство российских учителей геометрии тоже не решит эту задачку. По крайней мере с первого раза и быстро. Потратив пару часов (или дней), может быть, но так чтобы все получилось быстро... очень сомневаюсь.
Нам дан равнобедренный треугольник и углы, которые отмечены на рисунке. Нужно найти угол, обозначенный красным цветом.
Сразу говорю, что задача сложная. Правда сложная. Тут нужны и дополнительные построения и хорошие размышления. Так что приготовьте пачку листов (с первого раза точно не решите) и вперед разрабатывать мозг.
Сразу говорю, что я показываю то решение, которое знаю. Так что не гарантирую, что оно самое быстрое и простое. Если решите задачу более элегантным способом, пишите. Я сразу начну с подсказок, потому что иначе никак.
Для начала решим вот такую вспомогательную задачу. Построим на стороне AC нашего треугольника ABC равносторонний треугольник (выделил красным). И докажем, что заштрихованные салатовым цветом треугольники SBC и ACD равны.
Несмотря на корявость рисунка и то, что по рисунку кажется, что это совсем не так, равенство доказывается довольно просто.
∠ACD=10° это понятно из равнобедренности треугольника ABC: (180°-20°)/2-70°=10°. Так как мы сами построили равносторонний треугольник SAC, значит SC=AC, а ∠SCA=60°. Найдем ∠SCB=∠ACB-∠ACS=80°-60°=20° [обозначил фиолетовым на рисунке ниже].
Теперь посмотрим на треугольник SAB — он равнобедренный, так как AB=AC (по условию) = AS (по построению). Следовательно ∠SAB=60°-20°=40°, а углы при основании тогда равны (180°-40°)/2=70° [отметил на рисунке ниже зеленым цветом]. Теперь можно найти ∠CSB=70°-60°=10°.
Снова возвращаемся к заштрихованным салатовым треугольникам и видим, что SC=AC, а углы при этих сторонах и в том и в другом случае равны 10° и 20° соответственно. Следовательно заштрихованные треугольники SBC и ACD равны. Что и требовалось доказать. Из этого мы делаем вывод, что BC=AD [выделил синим на рисунках выше и ниже]. Ради этого всё и затевалось. Но это была лишь вспомогательная задача. Теперь вернемся к основной.
***
Отложим из вершины B на стороне ВD отрезок BK, равный AD=BC [это легко сделать при помощи циркуля или линейки с делениями]. Выделил этот отрезок синим и снова пеняю на кривость своих рук и схематичность рисунка, так как градусы я точно не вымерял [синие отрезки кажутся разными, но мы доказали, что они одинаковые].
Теперь проведем из точки B луч BF так, чтобы ∠FBC=20°, получим равнобедренный треугольник BFC [углы расписывать не буду, они отмечены на рисунке].
Теперь посмотрим на получившийся треугольник BKF [на рисунке ниже он выделен синим]. Он получился равносторонним, так как BF=BC=BK, а ∠KBF=60°.
Но это ещё цветочки, потому что теперь мы должны рассмотреть треугольник BFE. Он на удивление тоже равнобедренный [это легко определяется по углам, смотрите на рисунке голубой текст].
Теперь рассмотрим треугольник KEF. Он равнобедренный (EF=KF), угол при вершине 40°, а значит ∠EKF=∠KEF=70°.
Теперь внимательно, мы близки к концу как никогда до этого. ∠DKE=180°-60°-70°=50° (обозначен голубым на рисунке ниже). Теперь рассматриваем треугольник BDC. У него ∠С=70°; ∠B=80°. Следовательно ∠BDC=30° [отмечено и написано оранжевым на рисунке ниже].
Ну и последнее. Смотрим на два треугольника (BKE и ADE), заштрихованных оранжевым. Будем доказывать, что они равны. Во-первых, BK=DA (это мы уже давно выяснили). Во-вторых, если посмотреть на большой треугольник BEA (выделен фиолетовым на рисунке ниже), то мы увидим, что он равнобедренный, так как у него углы при основании равны 20°, значит, AE=BE. Получается, что заштрихованные оранжевым треугольник равны по двум сторонам и углу между ними. А из этого следует, что DE=KE.
Дальше смотрим на картинке ниже зеленый текст. Треугольник DKE - равнобедренный, а значит искомый угол ∠Х=50°-30°=20°.
Вот такая нелегкая задача. Немудрено, что она поставила в тупик американцев. Я честно сказать и сам был в тупике долгое время. Теперь мне было бы очень интересно посмотреть на то, как решили задачку вы. Делитесь своими решениями в комментариях.
Ещё интересно: "Это ж изи" - задача, которая якобы поставила в тупик многих австралийских школьников на экзамене. Наши — решили
3 вопроса из "Что? Где? Когда?", на которые ответили школьники, а знатоки — нет
