Найти в Дзене
Около ОГЭ • Математика
1044 подписчика

Сложная и красивая задача по геометрии / ОГЭ №25

4062
2 мин
Оглавление

Очень нравится эта задача, особенно одно из решений, которое и рассмотрим. Но Вы не забывайте предлагать свои, более короткие, интересные и просто другие решения в комментариях. Начнём?

Условие

Рис. 1. Источник: Открытый банк заданий ОГЭ по математике (EBE71A)
Рис. 1. Источник: Открытый банк заданий ОГЭ по математике (EBE71A)

Рассуждение

  • Боковая сторона перпендикулярна - прямоугольная трапеция, два угла по 90°.
  • Окружность касается этой стороны в точке E - касательная, свойства касательной.
  • Окружность проходит через точки C и D - секущая, прямая содержащая эти точки - секущая. Свойство касательной и секущей или двух секущих.
  • Известны оба основания - можно поискать подобные треугольники, отношение сторон будет легко найти.
  • Найти расстояние от точки E до прямой CD, а значит найти перпендикуляр проведённый из точки к прямой. Ещё один угол 90°.

Решение

Построим прямоугольную трапецию ABCD (∠A = ∠B = 90°) и окружность, проходящую через вершины C и D и касающуюся стороны (или продолжения) AB. Начать удобнее с окружности.

Рис. 2. Вершины C и D принадлежат окружности; прямая AB - касательная
Рис. 2. Вершины C и D принадлежат окружности; прямая AB - касательная

Найти нужно расстояние от точки касания до прямой, построим такой перпендикуляр EF к прямой CD.

Рис. 3. EF⟂CD
Рис. 3. EF⟂CD

Уже очевидно, что нужно продлить боковые стороны AB и CD за точки A и C соответственно, до точки пересечения K. Получившиеся прямые KA и KD - касательная и секущая соответственно.

Рис. 4. KE - касательная; KD - секущая
Рис. 4. KE - касательная; KD - секущая

Чтобы применять свойство касательной и секущей про них надо знать хоть что-то, а нам неизвестно ничего. Поэтому сперва рассмотрим два треугольника: ∆BKC и ∆AKD. Эти прямоугольные треугольники подобны по общему углу ∠K и равным прямым углам - I признак подобия треугольников.

Рис. 5. ∆BKC ~ ∆AKD по двум углам
Рис. 5. ∆BKC ~ ∆AKD по двум углам

Соответственные стороны в подобных треугольниках пропорциональны:

KC : KD = 7 : 8 - отношение соответственных сторон.

Теперь, когда известно отношение KC и KD, как начала секущей и всей секущей, можно использовать свойство касательной и секущей и найти через известное отношение KC и KD квадрат касательной KE, а затем и саму касательную.

Пусть в отношении KC и CD одна часть - x, тогда 7x - KC, 8x - KD. Получим KE:

KE = x√56 = 2x√14.

Далее рассмотрим два прямоугольных треугольника ∆BKC и ∆EKF, подобных по двум углам: общий угол ∠K и равные прямые углы (I первый признак подобия).

Рис. 6. ∆BKC ~ ∆EKF по двум углам
Рис. 6. ∆BKC ~ ∆EKF по двум углам

Из отношения соответственных сторон в подобных треугольниках получим пропорцию:

EK : KC = EF : BC - отношение соответственных сторон;

EF = (EK • BC) / KC = (2x√14 • 7) / 7x = 2√14.

Ответ: 2√14

Заключение

На этот раз нам пригодилось:

  • Свойство касательной и секущей;
  • Признаки подобия треугольников.

Применение

Все похожие задачи из открытого банка ФИПИ собраны по этой ссылке. Решайте, пробуйте, экспериментируйте и конечно делитесь своими экспериментами в комментариях. Удачи!

P.S.

Расстояние от точки касания до прямой CD в подобных задачах всегда будет равно среднему геометрическому двух оснований трапеции.

36