Свойство двух секущих / Геометрия №25 / ОГЭ

Окружности, окружности, снова окружности. Неотъемлемая часть второй части (масло масляное) ОГЭ. Свойство касательной и секущей попадалось уже не раз, а вот следствие из этого свойства, нет.

Что это за свойство (следствие) двух секущих и как его применять? Сейчас посмотрим. Поехали?

Задача

Рис. 1. Условия из открытого банка заданий ОГЭ (0BFE66)

Рассуждение

• Сторона BC - диаметр окружности, середина стороны - центр окружности.
• Прямая AD - секущая. Стороны AB и AC - тоже.
• Высота AD - перпендикуляр проведённый к диаметру. Диаметр - срединный перпендикуляр. В прошлой задаче не пригодилось, может здесь пригодится.
• H - ортоцентр треугольника.
• Известны AD и MD, можно найти и AM.

Решение

Начнём с окружности, в которой проведём диаметр - сторона BC. Через произвольную точку D опустим перпендикуляр - высота AD. Соединим AB и AC. Ортоцентр треугольника - точка пересечения всех высот (или их продолжения), будет на высоте AD, сразу построим недостающие высоты.

Рис. 2

Заметим, что высоты из вершин B и C - проведены к точкам пересечения сторон треугольника с окружностью, и правда - BC диаметр, а это вписанные углы.

Диаметр BC - срединный перпендикуляр, делящий отрезок ME (часть AE) на два равных отрезка. Из условия - это MD = DE = 9. Можно найти всю длину AE и отрезок AM:

AE = 90;

AM = 72.

Теперь рассмотрим секущие проведённые из точки A - AE и AC (можно было рассмотреть секущие AE и AB). К ним мы и будем применять свойство двух секущих (следствие из свойства касательной и секущей):

Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Следствие очень простое - попробуйте доказать самостоятельно.

Рис. 3

В этом 👆👆👆 равенстве AM и AE - известные отрезки. Получается, нам известно произведение AN • AC.

Теперь рассмотрим треугольники: ∆ACD и ∆ANH (если вы выбрали секущие AE и AB, тогда рассмотрите ∆ADB и ∆AHK).

Рис. 4

Данные прямоугольные треугольники (∆ACD и ∆ANH) подобны по I признаку подобия треугольников, по прямому углу и общему углу - ∠DAC.

Из подобия следует отношение соответственных сторон и пропорция:

Рис. 5

Снова произведение уже встречавшихся нам AN • AC. Но теперь из двух отрезков AH и AD нам известен только один, второй нужно найти. Приравняем значения полученные на рис. 3 и рис. 5:

Рис. 6. Следствие из свойства двух секущих и подобия

Подставляем известные значения и находим AH.

Ответ: 80

Заключение

Для успешного решения нам понадобилось вспомнить:

• Свойство двух секущих;
• Диаметр - срединный перпендикуляр;
• Признаки подобия треугольников.

Не так уж и много...

Применение

Больше таких задач как всегда по ссылке. Пробуйте, экспериментируйте, делитесь своими способами и ответами. Удачи!