Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам очередной удивительный факт, посвященный числам. Что мы можем ответить на вопрос: на сколько часто встречается та или иная цифра на первом месте в числе? Логично предположить, что единица встречается чаще на первом месте.
Более того, это утверждение выражает законом Бенфорда, согласно которому, в реальных статистических данных есть некая зависимость в распределении первых цифр.
А что, если взять последовательность, например, степеней двойки? Или любого другого числа? Какая цифра чаще всего будет на первом месте. Рассмотрим подробнее, а в конце увидим неожиданную практическую реализацию этой игры с цифрами. Поехали!
Итак, загрузим в Гугл.Таблицы формулу и построим график распределения для степеней двойки:
Оказывается, что при распределении первых цифр степеней двойки (до 1000) наиболее часто попадающейся первой цифрой является "1" с относительной частотой около 30%. В аутсайдерах - цифры "8" и "9". А что же будет с другими степенями?
Ситуация практически не изменилась. Лидеры и аутсайдеры те же. А что, если взять в качестве основания степени числа больше 10 ? Вы удивитесь, но, в принципе, то же самое:
Очевидным исключением является степени числа "10", в которых кроме 1 на первой позиции не встретится других чисел.
Что же дальше? А дальше совсем магия! Возьмем для анализа численность населения стран на 2020 год. Я думаю, Вы уже знаете результат:
Более того, Андре Вейлем математически строго доказано это утверждение. Им показано, что распределение первых цифр степеней чисел в пределе подчиняется формуле lg(i+1) - lg(i), где i = 1...9.
Например, для цифры 1 формула выглядит так:
Для 1: lg (1+1) - lg(1) = 0, 301
Для 2: lg (2+1) - lg(2) = 0, 176 и т.д.
Более того, можно показать, что и распределение первых цифр площадей стран мира приближается к указанному, рассчитанному исключительно на основе абстрактных цифр. Чувствуете закон мироздания? Я - да. Любите математику и она непременно ответит Вам взаимностью! Спасибо за внимание!
- Читайте про удивительные математические совпадения
- Что такое трансцендентные числа ?