Найти тему
Около ОГЭ • Математика
1041 подписчик

Окружности касаются внешним образом / Геометрия №25 / ОГЭ

757
1 мин
Оглавление

Рассмотрим один из возможных способов решения ещё одной непростой задачи из ОГЭ. Ну и, конечно, показывайте свои решения. Начнём?

Задача

Рис. 1. Из открытого банка ФИПИ (29F53E)
Рис. 1. Из открытого банка ФИПИ (29F53E)

Рассуждение

  • Окружности касаются внешним образом, т.е. можно провести общую касательную через эту точку и радиусы к этой касательной из каждой окружности.
  • Есть общие касательные, к которым тоже можно провести радиусы.
  • Расстояние между AB и CD - перпендикуляр между параллельными хордами.

Решение

Начнём с окружностей с центрами в точках P и K, которые касаются внешним образом:

Рис. 2
Рис. 2

Точки A, B, C и D проще отмечать после того, как будут проведены общие касательные. Касательные будут пересекаться, образуя угол, в который и вписаны наши окружности. А прямая PK - биссектриса этого угла.

Рис. 3. PE и EK - радиусы окружностей
Рис. 3. PE и EK - радиусы окружностей

Проведём радиусы к одной из касательных, с которой они будут образовывать прямые углы.

Рис. 4. PC⟂CA; KA⟂CA
Рис. 4. PC⟂CA; KA⟂CA

Так как PC⟂CA и KA⟂CA, то PC||KA, а прямая PK - секущая. Это мы будем использовать чуть позже.

Рис. 5. FM - расстояние между AB и CD
Рис. 5. FM - расстояние между AB и CD

Прямые AB и CD - параллельны, а четырёхугольник CFMA - трапеция. Проведём в этой трапеции отрезок EH, часть общей касательной.

Рис. 6
Рис. 6

К двум окружностям из точки H проведены три касательные - HC, HE и HA. А значит все они равны.

Рис. 7. HC = HE = HA
Рис. 7. HC = HE = HA

Далее несколько следствий:

  1. EH⟂FE - радиус к точке касания;
  2. EH||FC||MA - все перпендикулярны прямой FM;
  3. HC = HA - равные касательные;
  4. EH - средняя линия трапеции CFMA;
  5. FE = EM - средняя линия делит пополам.

Можем найти FE через EM:

Рис. 8
Рис. 8

Из последнего получим: FE = 22 + KM;

Рис. 9. PF - часть радиуса окружности с центром в точке P
Рис. 9. PF - часть радиуса окружности с центром в точке P

PE = 99;
EK = 22;
PF = 77 - KM.

Далее рассмотрим два треугольника: ∆PFC и ∆KMA:

По двум углам эти треугольники подобны:

  1. ∠CFP = ∠AMK = 90°
  2. ∠CPF = ∠AKM - соответственные углы при секущей PK, о которых говорили (рис. 4).

Коэффициент подобия: 9/2

Рис. 10
Рис. 10

KM / PF = 9 / 2
KM / (77 - KM) = 9 / 2
KM = 14
EM = FE = 36
FM = 72

Ответ: 72

Заключение

Что же нам пригодилось:

  • Интуиция (снова);
  • Свойство углов при параллельных прямых;
  • Свойство касательных к окружности;
  • Средняя линия трапеции;
  • Подобие треугольников.

Применение

Это всего лишь один из возможных вариантов решения этой задачи. Пробуйте, решайте, предлагайте свои решения. Ссылка на сайт ФИПИ с подобными задачами. Удачи!