Задачка из ВПР, господа. Дословно условие не помню, но суть в том, что нужно найти длину меньшей стороны листа формата А9, если большая сторона равна 52 мм, а площадь листа формата А0 равна 1 м². При этом √2 нам предлагают округлить до 1,414, а ответ округлить до целых чисел.
Чтобы решить эту задачу, надо понимать, что такое лист формата А0 и как он получается. Формат А0 - это прямоугольный лист площадью 1 м² с определенным соотношением сторон. Если разрезать этот лист пополам вдоль короткой стороны, получим формат А1. Таким же образом путем разрезания листа А1 пополам получаем формат А2 и так далее.
Как вы понимаете, соотношение сторон у всех форматов одинаковое, а их площади отличаются в четное количество раз, уменьшение листа идёт в геометрической прогрессии. Формат А1 в два раза меньше, чем А0, а А3 уже в 2³=8 раз.
Зачем это сделано? Для того, чтобы можно было легко масштабировать и распечатать тексты и картинки без изменения шрифтов и пропорций.
А теперь давайте решать. Ребята предложили два решения. Интерес в том, что если решать одним способом, то ответ получится один, а если другим — другой. Поэтому покажу оба способа.
Первое решение
Как я уже написал выше, листы уменьшаются по площади в геометрической прогрессии. То есть формат А9 будет в 2⁹ раз меньше, чем А0.
2⁹= 2•2•2•2•2•2•2•2•2 (произведение девяти двоек). Давайте найдем площадь формата А9, но сначала переведем площадь формата А0 из м² в мм². Попробуйте сделать это без ошибок. Так как в 1 метре 1000 миллиметров получается, что 1 м²=1000000 мм² (в одном квадратном метре миллион квадратных миллиметров).
Чтобы найти площадь формата А9 делим миллион на 2⁹. Не буду рассказывать, как удобно и быстро это решить устно без калькулятора, сразу напишу ответ — 125•125:8=1953,125 мм². Это мы отыскали площадь.
Теперь нужно отыскать стороны. Это легко — надо площадь поделить на вторую сторону: 1953,125:52=37,56009615... В условии задачи нас просили округлить ответ до целых. Округляем и получаем 38 мм. Запомнили этот ответ. Обращаю внимание, что мы тут никак не использовали данное в задаче условие об округлении корня из двух. В этом решении √2 вообще никак не фигурировал.
Второе решение
Теперь попробуем решить так, чтобы нам пригодился корень из двух. Я уже обращал внимание на то, что соотношение сторон у всех форматов будет одинаковым. То есть стороны формата А0 относятся друг к другу так же, как стороны формата А9 или А10. Этим и воспользуемся.
Нарисуем ещё раз формат А9 и разделим его пополам, чтобы получился формат А10 и посмотрим на рисунок.
Неизвестную короткую сторону формата А9 обозначим за Х, известную, длинную — за Y (она по условию равна 52 мм). Для формата А10 длинная сторона будет обозначена через Х, а короткая — y/2=26 мм.
Так как соотношение длинной и короткой стороны для каждого формата одинаковое, можно составить вот такое соотношение — Y:X=X:Y/2. Или Х²=Y²/2. Отсюда X=Y/√2=52/1,414=36,77510608... Округляем до целых, как просят в условии и получаем 37 мм.
***
И вот тут мы приходим к тому самому противоречию, о котором я говорил в начале. В первом случае мы получили ответ 38 мм, а во втором — 37 мм. Что считать правильным ответом? И самое главное, что делать проверяющему? У него в указаниях при проверке написан ответ 37 мм, но во втором решении мы округляем дважды. Один раз, когда считаем √2, второй раз, когда округляем ответ до целого. В первом же решении вроде как получается неправильный ответ, но по идее он более точный, так как мы округляем только один раз при округлении ответа. Что вы считаете более правильным ответом?
Если посмотреть в таблицы по ГОСТу, то мы увидим, что формат бумаги формата А9 дается как 37х52 мм. То есть получается, что решение, где мы округляем дважды, дает более точный ответ, чем решение, где округляем только один раз. Хотя по идее должно быть наоборот. Отсюда вопрос — разве ответ 38 нужно считать неправильным?
Ещё интересно: Задача на две формулы с экзамена, которую не решили большинство европейских выпускников
"Невозможная" школьная задача, которая поставила в тупик профессора из Канады
Тот случай когда математика противоречит здравому смыслу. Задача про высушенные грибы