Мы уже с вами говорили про этапы подготовки и про то, что следует чётко отличать изучение методов решения задач от их применения в реальных заданиях на олимпиадах и экзаменах. Одно дело, когда вы только что узнали новый способ решения и поэтому сразу готовы его применить; другое дело, когда из множества различных путей решения вы должны выбрать подходящий для конкретной задачи на экзамене.
Одно дело, когда у вас в руках ключ и вы учитесь открывать им замок; другое дело, когда у вас в руках связка похожих ключей и вам нужно по каким-то признакам определить нужный инструмент для данного замка.
И вот здесь возникает один из самых больших пробелов в стандартных системах подготовки.
Сейчас в интернете можно найти огромное количество видеоматериалов, где вам расскажут любые методы решения задач. Можно научиться стандартным приёмам или же освоить довольно экзотические; можно изучить алгебраические решения в лоб или же понять как разобраться с заданиями через красивую науку.
Но практически нигде не учат как приходить к решению. За редким исключением мало кто показывает, что в реальности происходит во время этого процесса.
А он далеко не так прямолинеен, как описывается в книгах и рассказывается в видео.
Пять лет назад мы с коллегами посещали мастер-класс по подготовке школьников к 19-й задаче ЕГЭ. Ведущий был представителем одного крупного регионального издательства и рекламировал свои курсы и пособия. Также он делился с нами своим опытом по составлению и отбору задач высокого уровня сложности для олимпиад и ЕГЭ.
Так вот он рассказывал, что однажды коллега принёс ему для оценки задачу собственного сочинения. Нужно было подумать над ней и сказать своё мнение по поводу её сложности. По словам ведущего, он думал над ней примерно две недели и наконец с трудом решил. В итоге задачу отклонили. Но не потому, что она была слишком сложная для учеников. Наоборот, наш эксперт сказал, что она слишком простая (!) для экзамена.
Дело в том, что по факту она решалась в несколько строк и могла показаться ученикам и преподавателям элементарной.
Самое интересное, что этот автор включил данную задачу в своё пособие по подготовке к ЕГЭ. Разумеется, там было только короткое решение, и читатели так и не узнали, какие усилия ему потребовались, чтобы решить её.
А ведь те идеи и гипотезы, которые он перепробовал при обдумывании задачи, тоже невероятно важны для обучения.
Когда абитуриент уже знаком с разными методами решения задач в некой области, его подготовка должна включать принципиально иные образовательные подходы, иной стиль взаимодействия с преподавателем. Простые пересказы решения задач становятся в этот момент бесполезными. Ученик занимается вхолостую.
То есть на определённом этапе преподавателю нужно изредка показывать своим ученикам ход своих мыслей, когда он решает ту или иную задачу.
Эта идея не нова. Опытные педагоги часто используют подобный приём в своей работе. Например, один из самых авторитетных преподавателей олимпиадной математики Борис Трушин недавно предложил своим зрителям интересный эксперимент и на камеру попытался сходу решить сложную задачу. И там он действительно очень грамотно раскручивает геометрическую задачу. Его рассуждения невероятно ценны для подготовленного абитуриента. Так же как и процесс решения от коллег из Школково, которые приняли вызов и попробовали пойти своим путём для той же задачи (раз , два ).
Другой пример: Алексей Савватеев и его периодическое появление на различных ютуб-каналах с решением олимпиад и вариантов ЕГЭ без подготовки. Несмотря на то, что он не является профессиональным педагогом, а больше популяризатор математики, его подходы к решению достойны внимания.
Однако, пока подобных видео мало и их практически не используют в качестве полноценного инструмента подготовки. Так, например, Трушин снял только два подобных видео и пока взял паузу.
Несмотря на то, что изучение подходов к решению задачи является довольно мощным инструментом для обучения, его внедрение сопряжено с некоторыми трудностями.
Во-первых, его можно внедрять только на третьем этапе подготовки. Раньше это делать бесполезно, а иногда и опасно. Бесполезно, так как порой у учеников не отработаны обычные методы решения и что-то продвинутое они банально не поймут. Что толку показывать как прийти к решению через неравенство Йенсена, если ученики не знают, что это такое, и не умеют его применять. Опасность же состоит в том, что узнав про дополнительные мощные инструменты, у учеников может сложится ошибочное впечатление, что они с помощью таких тайных знаний могут решать любые задачи. Само собой, это не так. И узнают это ученики только непосредственно на экзамене.
Во-вторых, невысокий уровень подготовки преподавателей. В первую очередь это проявляется в низкой культуре решения задач. Действительно, часть педагогов банально не умеет решать конкурсные задачи, поэтому просто пересказывают выложенные в сети официальные решения. В целом в этом нет ничего страшного — ученики так тоже чему-то научатся. Но ведь то же самое решение ученики могли бы прочитать дома и сами... А вот как они сами смогли бы прийти к такому решению, это остаётся за кадром.
С другой стороны, некоторые преподаватели имеют выдающиеся навыки решения задач, но не могут доступно изложить своё решение ученикам или же вообще плохо осознают, как они рассуждают. В таком случае, быстро решив задачу, они сразу рассказывают решение, примешивая в свой рассказ магические «очевидно», «легко заметить» или что-то вроде «возведём одно уравнение в куб, другое в квадрат, сложим их с числом 753 и получим нужный результат». Для учеников такое изложение имеет нулевой педагогический эффект, так как не проясняет самого главного – каким путём можно до всего этого додуматься.
То есть преподаватель должен иметь не только высокую культуру решения задач, но и некоторые навыки в педагогике, что встречается довольно редко.
В-третьих, ученики сами должны иметь некоторую культуру рассуждений и, что самое главное, пробовать решить ту же самую задачу самостоятельно заранее. Иначе пересказ мыслей и идей преподавателя будет походить на переливание из пустого в порожнее.
В-четвёртых, не все понимают ценность таких живых рассуждений. В итоге одну и ту же задачу на занятии могут, конечно, решить сразу несколькими способами. Например, могут использовать довольно элегантные ходы и мысли или же какие-нибудь неочевидные дополнительные построения. Но в любом случае это будет лишь набор прямолинейных решений, рассчитанных на изучение большого количества разных правильных идей, нежели на обучение того, как действовать, если изначальная идея была неправильной. То есть упор идёт на количество, а не на качество; на эффектность, а не эффективность.
В-пятых, задачи для подобных живых разборов обычно подбираются с упором на интересное условие или элегантное решение. Однако, довольно часто именно «некрасивые» задачи больше полезны с образовательной точки зрения. В них при решении может появится россыпь важных и полезных идей, которые пусть и не приведут к ответу, но покажут, как можно рассуждать с их использованием. Или же наоборот, можно подобрать такую задачу, что очевидных идей никаких нет и нужно с помощью очень скудных начальных данных как-то развернуться и решить её.
В-шестых, простая нехватка времени. У учителей в школе в принципе нет времени из-за загруженности, поэтому они не могут тратить время на такие вольные размышления с учениками. А на платных курсах после пары таких занятий могут возникнуть вопросы: «Мы заплатили деньги, а в итоге за полтора часа решили лишь одну задачу». И это хорошо, если решили...
Теперь о том, каким образом может реализовываться данный подход с изложением живых мыслей преподавателя при решении.
Выше мы обсудили видео, снятые с использованием такого подхода. Сложно сказать, насколько это в реальности эффективно. Подобные видео часто довольно длинные и требуют предельной концентрации от зрителей. То есть они не предполагают рассеянного просмотра в параллель с сериалом. К тому же преподаватель на видео не чувствует свою аудиторию и не может в зависимости от ситуации дать дополнительные пояснения к своим мыслям или же, наоборот, где-то срезать в очевидных всем местах. Ведь довольно часто приходящие в голову идеи слишком сырые и их ещё предстоит адаптировать к конкретной аудитории с учётом их уровня.
В этом смысле напечатанное решение будет лучше, так как читатель может быстро вернуться к тому моменту, где потерял нить повествования. Конечно, в видео тоже можно отмотать назад, но по каким-то причинам школьники гораздо реже перематывают видео, чем перелистывают страницу книги. Возможно это связано с тем, что просмотр видео более пассивен и школьникам чисто психологически не хочется прерывать монолог ведущего.
Однако, подобный напечатанный текст довольно сложен в восприятии. Если читатель не решал сам задачу, то написанный текст будет просто чередой каких-то хаотичных мыслей, уводящих от сути, нежели помогающих в решении. Тем самым сказывается привычка больше читать готовый рецепт, а не идти вместе с автором по ходу решения.
Также бумажный текст предполагает некую последующую редактуру, поэтому авторы часто не пишут про тупиковые ветки своих рассуждений, которые стабильно появляются в реальности. А это очень важно, так как при обдумывании задачи нужно научиться выбираться из тупиков и переходить на другие потенциально успешные ветви решения.
Ещё один минус в том, что обычно в книгах мало обсуждают эффективность вычислений. В некоторых ситуациях сложность задач состоит не столько в том, чтобы найти решение, сколько в том, чтобы не закопаться в вычислениях и довести их до конца. И конечно, никто не учит тому, как это делать, ведь по умолчанию считается, что после обнаружения ключевой идеи сильный ученик может сам дорешать задачу до конца. Хотя порой важно учиться не просто проводить преобразования или вычислять, а ещё и стараться делать это быстро и правильно. Но этому также мало кто учит. В итоге ученик тратит на задачу не адекватные 15-30 минут, а порой до часа или полутора только лишь потому, что нет соответствующих технических навыков.
К недостаткам текста можно отнести и то, что в нём нельзя точно передать динамику решения. Некоторые моменты требуют живого объяснения на пальцах. А если их привести в пособии как есть, то это будет очень нелепо выглядеть. Поэтому подобные книги предполагают уже готовый к изложению результат, даже если ход решения был изначально диаметрально противоположен.
Говоря об текстовом описании процесса решения олимпиадных задач, нельзя не упомянуть легендарную книгу Немного об ОММО . На данный момент это чуть ли не единственная книга, в которой автор не только показал официальные решения олимпиадных заданий, но и не побоялся живым неформальным языком изложить свои размышления по этому поводу.
И наконец, остался самый эффективный способ изучения процесса решения задач — это непосредственный контакт учителя и ученика. С этим пунктом, думаю, всё очевидно. Грамотный преподаватель может вывести ученика на качественно иной уровень понимания через свои правдоподобные рассуждения в реальных задачах.
Давайте пока на этом прервёмся. В следующий раз поговорим о наших исследованиях живого процесса решения задач и о некоторых выводах, которые помогут вам в самоподготовке.