Найти в Дзене
Около ОГЭ • Математика
1044 подписчика

Задание №25 в одно действие / ОГЭ / Геометрия

7402
1 мин
Оглавление

Теперь точно в одно действие и без долгого выведения этого «одного действия», как было тут. Сложность этой задачи, пожалуй, только в «правильном» рисунке. Посмотрим?

Задача

Рис. 1. Условие взято из банка заданий ФИПИ
Рис. 1. Условие взято из банка заданий ФИПИ

Рассуждение

  • Точка M - середина стороны AD, а значит AM = MD;
  • А ещё равноудалена от всех вершин, а значит MB = MC и равно предыдущему равенству;
  • Сторона BC без рисунка ни о чём не говорит, как и известные углы и их сумма 240°;
  • Как найти сторону AD пока тоже не понятно.

Решение

Догадались уже что это за четырёхугольник такой, у которого точка M равноудалена от всех вершин?

Рис. 2. M - середина AD
Рис. 2. M - середина AD

AM = MD, что ещё:

Рис. 3. Точка M - равноудалена от всех вершин
Рис. 3. Точка M - равноудалена от всех вершин

AM = MD = MB = MC - все отрезки равны и это показано на рисунке. А как называется геометрическое место точек равноудалённых от заданной?

Рис. 4. Известные углы четырёхугольника
Рис. 4. Известные углы четырёхугольника
Геометрическое место точек равноудалённых от заданной - окружность.
Рис. 5. Окружность проходит через все вершины, а центр - точка M
Рис. 5. Окружность проходит через все вершины, а центр - точка M

Наверное, только для этого нам и сказали что точка M равноудалена от всех вершин, сами отрезки MB и MC нам не пригодятся. А ещё, теперь понятно, что на самом деле нужно найти - диаметр окружности описанной около этого четырёхугольника... Или треугольника?

Рис. 6. ∠ACD - вписанный и опирается на диаметр, а значит он прямой (90°)
Рис. 6. ∠ACD - вписанный и опирается на диаметр, а значит он прямой (90°)

Угол ∠BCA отмеченный на рисунке (рис. 6) можно найти, он:

116° - 90° = 26° - угол ∠BCA.

Оставшийся угол в ∆ABC тоже можно найти:

∠BAC = 180° - 124° - 26° = 30°

Выходит, что в ∆ABC нам известна сторона BC и противолежащий «табличный» угол в ∠BAC:

Рис. 7. Сторона BC и противолежащий угол ∠BAC - известны
Рис. 7. Сторона BC и противолежащий угол ∠BAC - известны

Остаётся «одно действие», о котором мы говорили:

Рис. 8. Теорема синусов для ∆ABC
Рис. 8. Теорема синусов для ∆ABC

По теореме синусов через ∆ABC - находим диаметр, а значит и сторону AD.

Ответ: 12

Читайте также:

🌏Найти радиус описанной около треугольника окружности

🌎Найти радиус вписанной в треугольник окружности

🌍Найти радиус меньшей из окружностей

Заключение

Что же мы использовали:

  • Геометрическое место точек равноудалённых от заданной;
  • Вписанные в окружность углы;
  • Сумму углов треугольника;

Применение

Пробуйте самостоятельно, ищите (и может найдёте) свой, ещё более простой способ решить данную задачу, а помогут Вам похожие из списка заданий ФИПИ по этой ссылке.

30