Самая простая задача из ОГЭ №25 / Математика

Задача скорее самая «понятная», чем простая. Из условия много чего открывается, догадаться об очевидном ходе решения не составит труда. Пробуем?

Задача

Рис. 1. Условие из открытого банка заданий ФИПИ

Рассуждение

• «Биссектриса делит высоту в отношении...» - свойство биссектрис треугольника?
• Найти нужно радиус описанной окружности - возможно теорема синусов;
• Известна только одна сторона треугольника, если теорема синусов, то нужен синус противолежащего угла ∠BAC.

Решение

Рисунок будет простой, сперва треугольник (правильнее, конечно, сперва рисовать окружность - так всегда проще):

Рис. 2. Произвольный ∆ABC

Достроим биссектрису угла A:

Рис. 3. ∠BAE = ∠EAC

И высоту из вершины B:

Рис. 4. BH⟂AC

Ну и последнее - окружность:

Рис. 5. Окружность описанная около ∆ABC

Высота BH делится биссектрисой в отношении BN : NH = 5 : 3, а значит по свойству биссектрис:

Рис. 6

AB и AH - гипотенуза и катет (соответственно) в ∆ABH, а значит можно найти косинус ∠BAH (и/или ∠BAC):

Рис. 7. Прилежащий катет к гипотенузе

cos∠BAC = 0,6 - косинус ∠BAC или ∠BAH.

А для радиуса описанной окружности нам нужен синус этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Рис. 8. Основное тригонометрическое тождество

sin∠BAC = 0,8 - синус противолежащего стороне BC угла.

А зная сторону BC в треугольнике ∆ABC и синус противолежащего ей угла, найдём радиус описанной окружности по теореме синусов:

Рис. 9. Теорема синусов

Радиус описанной окружности: R = 5.

Ответ: 5

Заключение

Надеюсь, она Вам показалась простой, но всё равно подведём итоги и посчитаем что мы использовали:

• Свойство биссектрисы угла треугольника;
• Тригонометрические функции - косинус угла прямоугольного треугольника;
• Основное тригонометрическое тождество;
• Теорема синусов.

Применение

Потренироваться и попробовать силы можно на задачах с сайта ФИПИ по ссылке. Не забывайте переводить косинус -> в синус, и искать радиус, а не диаметр. Удачи!