Необычное решение очень сложной задачи №25 / Геометрия / ОГЭ

А необычное оно потому, что будем много достраивать, доказывать, выводить, а решим одной пропорцией. Ну или Вы решите...

Поехали?

Задача

Рис. 1. Условие из открытого банка заданий ФИПИ

Рассуждение

• Сумма углов при основании 90°, напоминает про сумму острых углов в прямоугольном треугольнике.
• Окружность проходит через точки A и B, если сторону продлить - секущая. И касающаяся прямой CD - касательная. Свойство касательной и секущей?

Решение

Углы при основании AD в сумме 90°, а значит можно было даже начать с прямоугольного треугольника.

Рис. 2. Углы при большем основании в сумме 90°

Если продлить прямую CD за точку C (нужна точка касания) и прямую AB за точку B, то они должны пересечься под прямым углом.

Рис. 3. AK⟂KD; точка E - точка касания

Теперь у нас есть касательная KE и секущая KA.

Найти нужно радиус окружности, но мы построим сразу диаметр. ME - диаметр проведённый к точке касания.

Рис. 4. ME⟂KE

И секущая KA и диаметр ME оба отрезка перпендикулярны KE, а значит KA||ME. Напоминает трапецию и/или прямоугольник.

Достроим до прямоугольника.

Рис. 5. Достроим хорду AH⟂ME

То, что четырёхугольник AKEN - прямоугольник, нужно доказать (самостоятельно). И не забыть показать на рисунке, что AN = NH, т.к. AH⟂ME

Рис. 6. AN = NH = KE

Заметим, отрезок касательной KE равен двум отрезкам хорды AH (AN и NH) образовавшимся при пересечении с диаметром.

А теперь последовательно выведем еще одно важное равенство:

Рис. 7. BK = MN

На рисунке теперь BK = MN и мы это сейчас докажем.

Рис. 8. Свойство касательной секущей проведённых из одной точки

Рис. 9. Свойство пересекающихся хорд окружности и следствие из этого

Свойство пересекающихся хорд окружности:

Две хорды окружности, пересекаясь, делятся точкой пересечения на отрезки так, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

У нас это AN • NH = MN • NE, где AN и NH отрезки хорды AH, а MN и NE - отрезки диаметра ME (диаметр - это хорда проведённая через центр).

Из двух последних изображений (Рис. 8 и Рис. 9) следует:

Рис. 10. Обратите внимание на KA и NE на рис. 7

В этом равенстве надо заметить отрезки KA и NE - противолежащие стороны прямоугольника AKEN. Они равны. А значит:

Рис. 11. Вот мы и доказали равенство отрезков с рис. 7

Теперь, когда известно, что KB = MN и KA = NE, можно найти диаметр:

KB + KA - диаметр окружности

Осталось узнать KB и KA (начало секущей и секущая).

Найти оба отрезка можно через простое подобие треугольников: ∆BKC ~ ∆AKD. Коэффициент подобия: 1/7.

Ответом делитесь в комментариях.

Заключение

Помимо интуиции и везения в достраивании нужных отрезков, Вам понадобится:

• Свойство касательной и секущей;
• Признаки и свойства прямоугольника;
• Свойство пересекающихся хорд;
• Признаки подобия треугольников.

Применение

Таких задач в открытом банке ФИПИ на момент публикации - 10, все они доступны по этой ссылке.

Пробуйте, экспериментируйте, делитесь своими решениями этой задачи. Удачи!