Приветствую вас, читатели. В этом выпуске рассмотрим решение задачи, которая считается сложной. Но я покажу как ее решить легко.
Вот текст задачи:
Начнем решение задачи с построения чертежа, и написания условия задачи.
Начнем решать задачу с конца.
1. Запишем формулу для нахождения площади трапеции.
На рисунке у нас нет средней линии и высоты. Но, у нас есть условие, что биссектриса угла ADC проходит через середину AB, поэтому М - это середина стороны АВ.
2. Через точку М проведем прямую параллельно основаниям трапеции и пересекающую сторону CD в точке N. Отрезом MN - средняя линия.
В результате построения средней линии, у нас получился треугольник DMN
3. Рассмотрим треугольник DMN.
a) Угол 1 равен углу 3 (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых MN и AD секущей DM
b) Угол 1 равен углу 2 (так как DM - биссектриса)
Из вышесказанного следует, что угол 3 равен углу 2, значит треугольник DMN равнобедренный, MN=ND = CD:2=41:2=20.5
Теперь посмотрим на нашу формулу площади трапеции.
Мы видим, что теперь нам нужно найти высоту трапеции.
4) Для этого построим еще одну трапецию, и уберем в ней биссектрису и среднюю линию, так как мы их уже использовали для решения, и дальше они нам будут только на чертеже мешать.
Для того, чтобы найти высоту трапеции, которая входит в элемент прямоугольного треугольник ABH, нужно найти сторону AD.
Зная, чему равна средняя линия трапеции т.е. MN=20.5, можем найти второе основание трапеции AD.
5) Важно! Многие задачи, связанные с трапецией, требуют построение двух высот.
Отметим на чертеже все элементы, что нам известно на данный момент.
Как видим по рисунку, если мы найдем AH или FD, то сможем вычислить высоту трапеции через теорему Пифагора.
Пусть отрезок AH=x, тогда FD=25-16-x=9-x
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABH и выразим высоту трапеции
Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника CFD и выразим также высоту трапеции
Теперь мы можем приравнять выражения, полученные по треугольникам ABH и CFD
Мы получили, что отрезок AH=0, т.е. его НЕТ! Трапеция ABCD - прямоугольная трапеция.
Так мы нашли, что высота трапеции равна 40.
6) Теперь ответим на главный вопрос задачи.
Найдем площадь трапеции.
Ответ 820
Для самостоятельной тренировки, попробуйте решить следующие задачи. Ответы пишите в комментариях.
Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.