Давайте обратим взор на Вселенную, рассмотрев азы релятивистской космологии. Все довольно просто, обещаю; а что посложнее, рассмотрим в другой раз.
Начнем с метрики. Чтобы найти длину вектора (а через нее можно и длину кривой), надо умножить его скалярно на себя (и взять корень из результата). Нам нужно скалярное произведение векторов.
Школьное определение "длина на длину на косинус угла" хорошо, но не годится, ибо угла у нас пока нет (он тоже через скалярное произведение определяется) и длину мы только-только надумали вводить. Второе определение, "перемножить координаты и все сложить" работает только в декартовых координатах (в полярных уже нет), а нет гарантии, что декартовы координаты вообще найдутся.
Поэтому используют метрику: набор чисел, на которые умножаем всевозможные произведения компонент векторов перед тем, как все сложить. Для скалярного квадрата двумерного вектора это x², xy, yx, y²: четыре числа надо. Они составляют тензор второго ранга: матрицу 2×2. В криволинейных координатах будет какая-то метрика, свой тензор в каждой точке; в декартовых она упрощается (единички для квадратов, нули для xy), а в общем случае декартовы координаты никто не ищет, и так все получается.
Вот возьмем сферические координаты: знакомы географические координаты. Масштаб вдоль меридиана неизменен, а вот параллели короче у полюсов, поэтому один градус широты всегда около 111км, а вот один градус долготы таков только на экваторе. Теперь ясно, что скалярное произведение, которое есть число и от выбора координат не зависит, будет вычисляться по-разному в сферических и декартовых координатах.
В четырехмерном пространстве-времени все чуть сложнее, но принцип совершенно тот же: метрика есть тензор второго ранга, считайте его матрицей 4х4; в ней 16 элементов, но из-за симметрии (xy=yx ведь) независимых только 10, так как шесть ниже диагонали равны шести выше.
Суть Общей теории относительности в том, что метрика определяется распределением энергии всех видов: масс, импульсов, давления, а еще зарядов и вообще чего угодно. Мы об этом много беседовали, см. оглавление рубрики.
Теперь взглянем на всю Вселенную. Предположим, что она однородная и изотропная: везде одинаковая.
Здесь не надо нервничать: имеется в виду большой масштаб. Вода очень даже сплошная среда, но если углубляться, то нет: между молекулами полно места, а молекулы тоже не то чтобы очень плотные, а атомы вообще пустые. Да и элементарные частицы не то чтобы шарики, хоть какой-то радиус им приписывают чисто условно: не то струны, не то точки, да еще и квантово неопределенные. А на большом по сравнению с молекулой масштабе сплошная среда, и все в порядке.
Откуда нам известно, что Вселенная на больших масштабах действительно однородная — в другой раз расскажу. Скоро. Пока давайте о математике.
Скалярный квадрат вектора (ct,x), где x — пространственный вектор, может быть только такой:
a(t)dX²-c²dt².
Здесь a(t) — какая-то функция времени, о которой далее, а dX — метрика в пространстве постоянной кривизны, как бы эталонном. Постоянной кривизны — потому что по предположению у нас все однородно. Таких пространств есть только три: сфера с положительной кривизной, плоское пространство с нулевой и гиперболоид с отрицательной кривизной. Двумерные аналоги — это сфера, плоскость и поверхность вроде седла или горного перевала. Радиус сферы и мнимый радиус гиперболоида роли не играют: их изменение равноценно умножению a(t) на константу.
Пока мы еще не использовали ни уравнение Эйнштейна, ни даже обсудили распределение энергии! Но метрика уже есть, с точностью до эталонного пространства (выбор одного из трех) и масштаба a(t).
Подставить эту метрику в уравнение и посмотреть, что получится, теперь не так сложно. В другой заметке мы это проделаем, а пока обсудим полученную метрику.
Первый вопрос: почему не может быть множителя, зависящего от t, при втором слагаемом? Может, но замена переменной времени приведет опять к указанной формуле, только a(t) изменится — но она у нас все равно пока не определена.
Второй вопрос: как вообще метрика может зависеть от времени? А почему не может? Вон система двойных звезд: там поле переменно и, следовательно, переменна и метрика. А здесь метрика в пространстве постоянна, а во времени может меняться. Что в этом невероятного?
А не может так статься, что уравнение покажет, что a(t)=const, а то еще и исключит пространства ненулевой кривизны? Вряд ли. Дело в том, что в левой части уравнения Эйнштейна стоят компоненты тензора кривизны, а он содержит вторые производные метрики по координатам. Кривизна — это же про разницу в порядке дифференцирования, "шаг вправо и потом вперед не то же, что наоборот". Там вторые производные, в том числе и по времени. А если в уравнение входит вторая производная по времени, то явление обладает инерцией: первая производная (скорость) может быть равна нулю, а вторая нет, и динамика все равно будет. Ну и если слева тензор кривизны, а справа не нуль, то кривизна будет присутствовать.
Так мы можем осторожно предположить, что нулевая кривизна если и есть, то только как тонкий пограничный случай, а стационарная Вселенная если и возможна, то тоже при тонкой настройке параметров. На самом деле, так и есть, и стационарная Вселенная возможна только при специально подобранной космологической постоянной, да и то такое решение неустойчиво.
Еще вопрос. Получается, что для одновременных событий (t=0), разнесенных в пространстве, пространственное расстояние в квадрате равно a(t)dX², то есть меняется во времени? Да. Точки неподвижны относительно друг друга в смысле координат, но расстояние между ними увеличивается.
Это тонкий момент: надо уточнить, что же такое движение. Движение имеет смысл только относительно системы отсчета, и можно говорить об относительном движении систем отсчета, а не тел, с которыми они связаны. Так вот, системы в движении наклонены относительно друг друга на некоторый гиперболический угол. Если этот угол равен нулю, системы неподвижны. Расстояние между ними может при этом расти за счет изменчивости метрики.
Еще раз. Тело движется относительно наблюдателя, если со временем меняются пространственные координаты в системе, связанной с наблюдателем. Если координаты не меняются, движения нет.
То есть в момент времени 0 я сижу в точке с координатой 0 и вижу тебя в точке с координатой 1, и часы тоже показывают нуль, мы их успешно синхронизировали. Через час ты по-прежнему в точке с координатой 1 (а я в нуле), но расстояние увеличилось. Да, это трудно осознать, потому что неизменность расстояний вбита в интуицию. Но это нормально. Свету надо лететь дольше, хотя его скорость не изменилась. А координата прежняя, просто расстояние считается иначе.
Чуть поподробнее обсудим это в следующей заметке. А еще в следующей подставим метрику в уравнение Эйнштейна и посмотрим, какие условия оно накладывает на функцию a(t).
Расстояние может меняться тремя способами. Первый: если одна система движется относительно другой. Соответствующие координатные системы имеют одно и то же начало отсчета, а оси повернуты относительно друг друга на некоторый гиперболический угол, соотвествующий скорости. Второй: системы взаимно неподвижны, но метрика зависит от времени. Таковы координаты, нарисованные на надуваемом шарике. Точки 1 и 2 отдаляются, но остаются точками 1 и 2. Начала отсчета совпадают. И третий: начало отсчета одной системы движется относительно другой. Это как возить с собой километровый столб: формально координата та же, но расстояние увеличивается. Этот случай сводится к первому, если совместить начала отсчета.
Продолжение скоро!