Полезное свойство касательной и секущей / Геометрия 8 класс

Как оказалось, «неизвестное» свойство... На самом деле - нет.

На одном из соседних каналов (в комментариях) в который раз натыкаюсь именно на такое утверждение ☝️. Мол, «нет в указателе», «нет в оглавлении» и т. д. Поэтому начнём с него.

Свойство касательной и секущей (проведённых из одной точки)

Квадрат отрезка касательной равен произведению начала секущей на длину всей секущей.

Рис. 1. AB - касательная; AC - начало секущей; AD - вся секущая

Прежде, чем начать давайте выясним скольким из Вас известно доказательство этого свойства или вот этого утверждения 👇👇👇

Рис. 2. То же свойство только в виде выражения по Рис. 1

Доказательство

Для начала дополним наш рисунок (Рис. 1), дорисовав две хорды BD и BC:

Рис. 3. BC и BD - хорды проведённые и точки касания B

Задача доказать подобие двух треугольников: ∆ABC и ∆ABD. На рисунке (Рис. 3) уже есть подсказка с углами.

Рассмотрим ∠ABC и ∠BDA, необходимо доказать их равенство, а для этого нужно снова дополнить рисунок (Рис. 3) , дорисуем диаметр BK и хорду СК.

Рис. 4. BK - диаметр; CK - хорда

Обратите внимание на то, что диаметр BK проведён именно из точки B, так чтобы ∠BKC опирался на ту же дугу (или хорду), что и ∠BDC. Получившийся ∆BCK - прямоугольный (попробуйте доказать это самостоятельно) и его острые углы в сумме 90°, т.е. ∠BKC + ∠KBC = 90°.

Диаметр BK⟂AB, по свойству касательной и радиуса, а следовательно и ∠KBA = 90°, что значит что ещё два угла в сумме тоже 90°: ∠ABC + ∠KBC = 90°.

Из последних двух заключений получаем: ∠BKC + ∠KBC = ∠ABC + ∠KBC, а значит ∠BKC = ∠ABC. Вспомним про углы опирающиеся на одну хорду BC (дугу) и получим ещё одно равенство ∠BKC = ∠ABC = ∠CDB, для тут важно равенство последних двух - это углы необходимые для подобия.

Подобие треугольников ∆ABC и ∆ABD:

1) ∠ABC = ∠CDB - следует из предыдущего действия;

2) ∠A - общий.

По I признаку подобия треугольников имеем, что ∆ABC~∆ABD, следовательно верно и отношение соответственных сторон в подобных треугольниках:

AB/AD = AC/AB = BC/BD

Для нас имеет значение первые два отношения из которых следует (по свойству пропорций), что:

Рис. 5

Применение

Задач с применением данного свойства - предостаточно, в том числе и на ОГЭ. Далее разберём на примере одной из таких задач.

Задача:

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 4, AC = 64. Найдите AK.

Рис. 6. К Задаче №1

Источник: Открытый банк заданий ГИА-9 / Математика

Решение:

Тут всё просто, если знать свойство.

AK - отрезок касательной, AB - начало секущей, AC - вся секущая.

Рис. 7

Ответ: 16

Проверка знаний

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке B, а другая пересекает окружность в точках C и D (точка C лежит между точками A и D), AB = 18 см, AC : CD = 4 : 5. Найдите отрезок AD.

Список некоторых задач с применением этого свойства на сайте открытого банка заданий ОГЭ.