Формула Гельмгольца
Под теорию фазоинвертора необычайно популярной стала формула Гельмгольца, немецкого медика, физика, физиолога, психолога и акустика, автора фундаментальных работ по физиологии слуха и зрения.
Гельмгольц рассчитал резонансную частоту полости с горлышком, его выполненные из меди резонаторы выглядели так:
После преобразования формулы Гельмгольца, с подставлением в нее постоянных данных (плотности воздуха, давления в полости и показателя адиабаты, с заменой на скорость воздуха), формулу можно выписать так (формула 1):
c - скорость воздуха; S - площадь отверстия; Vп - объем воздуха в горлышке; Vо - объем полости; L - длина горлышка.
Формула выведена исходя из физических соображений, где воздух в полости аналог пружины, а в горлышке аналог грузика определенной массы, откуда и становятся возможны колебания, аналогичные колебаниям грузика на пружине.
Радиолюбитель (или колонкостроитель), скорей всего, впервые столкнулся с формулой Гельмгольца применительно к фазоинвертору, который представляется полостью с цилиндрическим горлышком (туннелем), которое принято определять его длиной. Преобразованная относительно длины горлышка формула выглядит так, формула 2 выше.
Но затем, при переходе к измерениям и сравнении результатов с расчетом, проявились отклонения. Первое отклонение связано с краевыми эффектами на отверстии горлышка, обращенном наружу. К фактической длине горлышка L пришлось прибавить поправку, учитывающую краевые эффекты, тем самым вместо фактической длины L в формулу подставляется эффективная длина L'. Дело в том, что воздух вблизи отверстия частично ведет себя так. как если бы он принадлежал горлышку. Длина горлышка для подстановки в формулу увеличивается на т.н. "присоединенную длину".
Именно эта формула и зашита в калькуляторы расчета фазоинверторов и приводится для расчета. Но при этом оговаривается, что глубина фазоинвертора не должна превышать 1/16 длины волны (той, что нас интересует, нижней воспроизводимой).
Дело в том, что классическая формула частоты фазоинвертора основана на пренебрежении волновыми явлениями в ящике, и из бесконечного ряда выбирается первый член. С учетом второго члена (что необходимо при глубине фазоинвертора более 1/16 длины волны, соответствующей частоте фазоинвертора) и краевых эффектов формула уточняется:
L' - эффективная длина горлышка; H - глубина резонатора (в направлении оси горлышка).
Для дальнейшего изложения преобразуем формулу относительно диаметра круглого порта:
Эффективная длина порта равна L+0,85*D, данная поправка знакома всем колонкостроителям; но коэффициент 0,85 справедлив для горлышка с фланцем, при отсутствии фланца он принимает значение 0,75, притом горлышко направлено наружу; случай с горлышком, направленным внутрь, еще более сложен, а ведь именно таковы большинство фазоинверторов. Хотя строят и фазоинверторы "с трубой через фасад", пример ниже.
Ведь все хорошо - и длина трубы не ограничена конструктивно, и за расстоянием до задней стенки нет нужды следить (чем меньше расстояние между срезом трубы и задней стенкой, тем фазоинвертор все более напоминает закрытый ящик, окончательно превращаясь в него, когда труба в стенку упрется). Также, труба не отнимает полезный объем ящика.
Но формула не годится при горлышке сложной формы - если горлышко плавно переходит в полость, где кончается "грузик" и начинается "пружина"? Вновь преобразуем формулу к объему горлышка, понимая, что это фиктивный объем, никак не отражаемый каким-либо переходом в горлышке сложной формы, плавно переходящем в полость.
Просто на некотором участке воздух ведет себя одновременно и как грузик, и как пружина, мы же, в угоду теоретической формуле, пытаемся провести резкую границу, чтобы все было "по правилам".
Единицы в формуле могут быть любыми, лишь бы одной системы единиц, скажем СИ. Но на практике принято измерять в единицах разных систем - объем в литрах, длины (диаметр и высоту) в сантиметрах. Формула, преобразованная под литры и сантиметры, выглядит так:
Рассчитываем бутылку Кока-Колы как резонатор Гельмгольца
Все это мы проделали для того, что узнать, где у стандартной бутылки кока-колы 330 мл проходит условная граница между горлышком и полостью. Бутылка обмерена, ее полный объем составляет 342 мл, диаметр горлышка (внутренний) 18 мм, высота чистая (внутри бутылки) 210 мм.
Мимо бутулочки колы не мог пройти мимо и американский специалист по акустике Жан-Пьеро Матараццо, особо обративший на нее внимание как на типичный резонатор Гельмгольца.
Резонансная частота бутылок разного рода неоднократно определялась энтузиастами разного рода, дули перпендикулярно горлышку, и измеряли посредством микрофона и частотомера частоту возникающего гула. Для нашей бутылки, стеклянной 330 мл, резонансная частота оказалась равной 185 Гц.
Исходных данных достаточно, чтобы Excel, после ввода в него формулы и исходных данных, путем итераций (последовательных приближений) в режиме "Поиск решения" решение отыскал.
Граница между горлышком и полостью проходит на 36 мм ниже верхнего среза горлышка, при этом полный объем 342 мл разделяется на объем горлышка 12 мл и объем полости 330 мл.
Из 210 мм общей чистой высоты 36 мм приходится на горлышко, на полость остается 174 мм. Если сложную форму части бутылки, отнесенной к полости, считать круглым цилиндром, то при объеме 330 мл и высоте 174 мм диаметр цилиндра придется счесть равным 49 мм.
Что интересно, внутренний диаметр бутылки колеблется между 45 и 52 мм. Эффективный диаметр 49 мм закономерно оказался лежащим между крайними значениями.
Ниже еще раз приведена бутылка "в фас", что позволяет, исходя из масштаба, провести на ней границу раздела между условным горлышком и условной полостью.
Как бутылка сама определяет, где у нее кончается горлышко и где начинается тело, нам неведомо. Прошла бы граница в другом месте, другой была бы и резонансная частота.
В фазоинверторе также, при туннеле нетрадиционной формы (экспоненциальном, песочные часы, коническом) процессы схожи с процессами в бутылке, акустическая система сама разберется, где проходит граница между ящиком и трубой, и какова эффективная длина трубы. Рассчитывать на точное соответствие результата расчету не приходится.
Добротность резонаторов Гельмгольца
Резонатору Гельмгольца, как и всякой колебательной системе, свойственна своя добротность, задающая, как быстро затухают колебания в резонаторе после прекращения вызвавшего колебания воздействия.
Нам встречались в Интернете статьи, где применительно к фазоинвертору (который тоже резонатор) утверждалось, что добротность фазоинвертора зависит от всех его параметров, в т.ч. и размеров туннеля. Это утверждение не то что ошибочное, но вводящее в заблуждение. ошибочное. В формулу добротности резонатора действительно входят размеры горлышка, но после упрощения формулы и включения в нее частоты резонатора, в конечном выражении остаются лишь объем полости и резонансная частота, остальные параметры взаимоуничтожаются.
Вот эта формула:
Q = (1,02*10^9)/(V*F^3)
Миллиард делится на объем полости в литрах и частоту в кубе. Добротность - величина безразмерная.
Для бутылки кока-колы расчет дает 488.
Эта же формула годится и для расчета добротности фазоинвертора. Для изготовленного нами макета фазоинвертора под крошечный громкоговоритель чистым объемом 0,7 л и измеренной резонансной частотой 237 Гц добротность оказывается равной 109.
Это теоретическая величина исходя лишь из взаимодействия воздуха в туннеле и ящике. По факту, она всегда меньше, поскольку в формуле добротности прочие потери (из-за неплотностей, поглощения материалом) не учитываются. Потери же всегда ухудшают добротность.
P.S. Добавление от 9 марта про погрешность расчета без учета краевых эффектов и глубины резонатора
Появилась мысль еще раз пояснить, как сказываются на расчетах 2 введенные поправки в классическую формулу Гельмгольца. Это поправка на присоединенную дину, учитывающая краевые эффекты, и наличие или отсутствие фланца на туннеле, и поправка на размер фазоинвертора, сравнимый с длиной волны его собственной частоты (сказывается при глубине более 1/16 длины волны).
Для этого рассчитанная на частоту 185 Гц бутылка колы пересчитана без поправки на волну, частота оказалась равной 197 Гц. Частоте 185 Гц соответствует длина волны 343/185 = 1,85 м. 1/16 от длины волны равняется 185/16 = 12 см. Высота полости бутылки оказывается равной 17,4 см, т.е. пренебречь поправкой было нельзя, ошибка в частоте резонанса и составила 6%.
Восстанавливаем поправку от волны и убираем поправку на краевые эффекты. Расчетная частота оказывается равной 207 Гц, ошибка уже 12%.
При неучете обоих поправок частота 224 Гц, ошибка 21%. Как видно, все погрешности в одну сторону, т.е. фактическая частота фазонивертора окажется ниже рассчитанной без учета поправок. Но с фазоинвертором не все так трагично в смысле поправки на волну, как с бутылкой - бутылка глубокая, т.е. расстояние от горлышка до дна самое большое из 3 измерений, у фазоинвертора пропорции более благоприятные - глубина при динамической пропорции корпуса - наименьшее из 3 измерений.
В заключение по форме раструба или фланца. Коэффициент 0,85 при присоединенной длине для варианта с фланцем, вариант без фланца требует коэффициента 0,75. Бутылка считалась с коэффициентом 0,75, поскольку фланца горлышко не имеет.
При пересчете с неверным коэффициентом 0,85 резонансная частота оказывается равной 182,5 Гц. Ошибка 1,4%. В руссскоязычных источниках упоминания о разности коэффициентов 0,75/0,85 я не встречал, возможно плохо искал или не искал вовсе.