Найти в Дзене
Математика с Надеждой
6654 подписчика

Неожиданные свойства правильного семиугольника

1037
1 мин

Я не устаю повторять, что в школе мы решаем задачи не для того, чтобы получить правильный ответ, но для того, чтобы научиться чему-то новому. Хорошая задача многому может нас научить, надо только дать ей шанс.

Вот одна такая задачка.

В правильном семиугольнике с единичной стороной выбрали две диагонали разной длины. Правда ли, что численно их произведение равно их сумме?

Конечно, произведение длин должно измеряться не в тех же единицах, что их сумма. Численно равны -- значит, равны как числа при заданной единице измерения. В этой задаче единица измерения -- сторона семиугольника.

Оказывается, произведение разных диагоналей действительно численно равно их сумме. Если пролистать галерею вправо, можно увидеть разные решения, но интереснее придумать свое

Можно представить себе правильный семиугольник вписанным в окружность и увидеть равенство различных вписанных углов, как на этом рисунке. Только дополнительный отрезок FD проведен так, чтобы получился равнобедренный треугольник DEF, и при этом все равно удалось определить многие углы. Равенство углов дает подобие треугольников ABC и CFD, а пропорциональность их сторон -- искомое равенство.
Можно представить себе правильный семиугольник вписанным в окружность и увидеть равенство различных вписанных углов, как на этом рисунке. Только дополнительный отрезок FD проведен так, чтобы получился равнобедренный треугольник DEF, и при этом все равно удалось определить многие углы. Равенство углов дает подобие треугольников ABC и CFD, а пропорциональность их сторон -- искомое равенство.
Не нужно стремиться искать именно те подобные треугольники, которые задумал автор задачи. В этой модели они возникают на каждом шагу. На этом чертеже возникли подобные треугольники CGD и BDL. Из пропорциональности их сторон опять-таки следует искомое равенство.
Не нужно стремиться искать именно те подобные треугольники, которые задумал автор задачи. В этой модели они возникают на каждом шагу. На этом чертеже возникли подобные треугольники CGD и BDL. Из пропорциональности их сторон опять-таки следует искомое равенство.
И еще одно одно решение через подобие. Обратите внимание на искусное дополнительное построение -- еще один такой же семиугольник; из-за симметрий равенства нужных отрезков устанавливаются особенно легко. Здесь разные диагонали обозначены буквами a и b.
И еще одно одно решение через подобие. Обратите внимание на искусное дополнительное построение -- еще один такой же семиугольник; из-за симметрий равенства нужных отрезков устанавливаются особенно легко. Здесь разные диагонали обозначены буквами a и b.

Вот еще одна задачка, в которую входят разные диагонали семиугольника. Не спешим листать вправо и подсматривать решение.

Найти отношение красной площади к синей. (Правильные семиугольники равны)
Присмотритесь, и вы увидите здесь много треугольников, подобных тем, что мы видели в предыдущих решениях.
Присмотритесь, и вы увидите здесь много треугольников, подобных тем, что мы видели в предыдущих решениях.
Следим за подобием и режем красную звезду на 21 кусочек. Из них составляем две одинаковых - одна из красных и вторая из желтых и синих. Сразу видно, что площадь красной звезды вдвое больше площади синей.
Следим за подобием и режем красную звезду на 21 кусочек. Из них составляем две одинаковых - одна из красных и вторая из желтых и синих. Сразу видно, что площадь красной звезды вдвое больше площади синей.

Ну и напоследок для самостоятельных размышлений еще одна задачка без решения.

Найти площадь красного многоугольника, если сторона правильного семиугольника равна 32.
-4

Спасибо решателям Yu Ka , Сергей Соколин , Ренат Хатымов , Андрей Щетников, Evgeniy Zelikov за предоставленные материалы.

Еще планиметрия:

Разрезаем блины на Масленицу: математический подход

Две стратегии решения задач с подвижными условиями

Какая-то бесконечная теорема косинусов

Маленький геометрический сериал

5