Продолжаю цикл задач по геометрии повышенной сложности.
Ссылки на задачи, которые уже были разобраны. Если вы еще не решали, можете попробовать свои силы и проверить себя.
Спасибо большое всем, кто предлагает в комментариях более интересные и простые способы решений этих задач 🙏💚
В этот раз предлагаю посмотреть такую задачу:
три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
Задача довольно простая, но в ней есть один очень серьезный подвох.
Для начала сделаем рисунок.
Конечно же первое, что приходит в голову - соединить центры окружностей. Так и сделаем. Отрезки О₁О₂, О₂О₃ и О₁О₃ будут проходить через точки касания В, С и А соответственно, т.к. радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной.
Теперь решение задачи кажется очевидным. Выходит, необходимо найти радиус окружности вписанной в треугольник, стороны которого легко найти.
Но здесь и кроется весь подвох данной задачи. На этом этапе мы не можем очевидно утверждать, что окружность в центром О является вписанной в треугольник О₁О₂О₃. ЭТО необходимо доказать.
Воспользуемся решением вспомогательной задачи.
Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны треугольника
Если это справедливо для всех точек А, В, С, то окружность с центром О действительно вписанная в треугольник О₁О₂О₃.
Проверим выполнение этого условия.
Найдем полупериметр треугольника О₁О₂О₃:
О₁О₂=О₁В+О₂В=1+2=3
О₂О₃=О₂С+О₃С=2+3=5
О₃О₁=О₁А+О₃А=1+3=4
p=(3+5+4)/2=6
проверим, выполняются ли условия:
1) О₁В=О₁А=p-О₂О₃
1=6-5
верно
2)О₂В=О₂С=p-О₃О₁
2=6-4
верно
3)О₃С=О₃А=p-О₁О₂
3=6-3
верно
Выходит, что окружность с центром О действительно является вписанной, т.к. точки А, В и С являются точками касания.
Остается найти только радиус окружности вписанной в треугольник со сторонами 3,4, 5. Треугольник Пифагоров.
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру треугольника.
r=S/p (p - полупериметр)
р=6 (считали ранее)
S=1/2О₃О₁⋅О₁О₂=1/2⋅4⋅3=6
r=6/6=1
ОТВЕТ: 1
Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.