Вчера мне написал один товарищ с просьбой помочь решить одну задачку про всплывающие пузырьки и изменение давления. И когда я дочитал условие до конца, я понял, что задача обещает быть интересной. А еще эта задача редко встречается. Ни разу не видел её в ЕГЭ, ОГЭ и ни разу не сталкивался с такой задачей, проучась в университете на теоретической физике. Естественно, как только я освободился от работы, я сразу сел разбираться с задачей. И она мне так понравилась, что решил оставить заметку в блоге.
Формулировка задачи
Герметически закрытый бак высотой h = 5,0 м заполнен водой доверху. На дне его находятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно бака р₀ = 0,15 МПа. Каким станет это давление, если всплывет один пузырек? Оба пузырька? Стенки бака считаются абсолютно жесткими, вода — несжимаемой.
Вот такая задача. Как обычно, предлагаю остановиться на этом моменте, перестать катать колесико мышки или скроллить вниз, и подумать над решением. Возьмите черновик и попробуйте набросать решение самостоятельно, без использования интернета. Отпишитесь в комментариях удалось ли решить задачу самостоятельно.
Картинка, чтобы подумать. После картинки будет разбор...
А теперь разбор... И для любой физической задачи нужно начать с рисунка:
Если давление на дно равно р₀, при этом пузырьки не схлопываются, значит давление воздуха внутри каждого пузырька до всплытия также равно р₀. В таком случае, если всплывет два пузырька сразу, то давление на дно будет складываться из гидростатического давления воды и давление воздуха, состоящего в двух пузырьках, которые будут давать воду «сверху». То есть давление на дно станет равным
Теперь рассмотрим более интересный случай, когда всплывает только один пузырек. Объем пузырька не будет оставаться постоянным во время всплытия. Если мы считаем, что внутри пузырька у нас идеальный газ, который подчиняется закону Менделеева-Клапейрона, то можно записать
Считая процесс изотермическим, получается, что первый пузырек всплывает и увеличивается в объеме, добавляет давление на воду «сверху», в результате чего, второй пузырек, который остался у дна, будет сжиматься.
Допустим, что при всплытии, давление у дна бака будет p. Тогда давление воздуха в первом всплывшем пузырьке уменьшится на ρ⋅g⋅h при всплытии к верхней крышке бака, то есть станет равным p - ρ ⋅ g ⋅ h.
Объем первого пузырька найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона, считая сам процесс изотермическим:
Давление пузырька второго, возле дна, увеличится c р₀ до p. А объем уменьшится до V₂ , который мы найдем аналогично:
В условии задачи сказано, что жидкость несжимаема, а стенки бака абсолютно жесткие, поэтому мы можем считать, что суммарный объем воздуха в пузырьках сохраняется. Изначально суммарный объем равен 2V₀. После всплытия первого пузырька суммарный объем V₁ + V₂.
Условие сохранения будет таким:
Сократим на объем V₀ и упростим это уравнение:
Получили квадратное уравнение, для которого посчитаем дискриминант:
Теория решения квадратного уравнения даем нам два корня:
Однако, если высота поднятия первого пузырька будет равна нулю, то и давление должно быть равно начальному давлению в задаче:
h = 0 -> p = р₀
Отсюда мы выбираем второй корень:
И производим расчет нового давления у дна бака:
Получается, что после всплытия одного пузырька, давление на дно станет равным 0.178 (МПа), то есть увеличится на 0.028 (МПа).
Следует напомнить, что «несжимаемая жидкость» - это идеализация, модель реальной жидкости, а всякая модель имеет ограниченную область применимости. В данном случае, если бак достаточно велик, изменение объема воды может оказаться вполне сравнимым с объемом пузырька или даже большим. Тогда получится, что считать воду несжимаемой нельзя.
Границы применимости такого решения
Сжимаемость воды (относительное уменьшение ее объема при увеличении давления на 1 Па) равна:
Более подробно это можно записать так:
Сжимаемость воды приводит к расширению пузырька при всплытии. Поэтому давление в нем несколько уменьшается, так что увеличение давления в жидкости на дно сосуда Δp оказывается меньшим, чем для несжимаемой жидкости, то есть Δp < ρ ⋅ g ⋅ h.
Общее уменьшение объема воды (то есть увеличение объема пузырька) составит:
Воду можно считать несжимаемой при выполнении условия:
Интересно, что «несжимаемость» воды дается нам условие, которое накладывается на площадь дна бака. Для пузырька размером 15 мм³ и высоты бака в 5 м мы получаем площадь дна:
То есть воду в баке можно считать несжимаемой, если бак представляет собой очень узкую высокую трубку.
Друзья, если Вам нравятся подобные разборы задач, то поддержите эту статью активностью (лайк, комментарий, репост в социальные сети). Вам не сложно, а мне приятно и мотивирует писать дальше :)
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
