Мы уже обсудили, как можно (задним числом) прийти к геометризации тяготения и инерции. В криволинейных координатах прямые линии описываются нелинейными уравнениями. Ускорения (вторые производные по времени) могут не равняться нулю, будучи наведены выбором системы отсчета. Но в поле силы тяжести все тела падают одинаково, что означает: либо нет способа двигаться по прямой в пространстве-времени, либо есть, но с приложением сил — но тогда это ускоренное движение. Получается, что пространство искривлено, так как там нет некриволинейных координат. И метрика работает потенциалом этих сил, что инерциальных, что гравитационных.
Но ведь гравитация создается массами, энергией. Как именно — описывает тензорное уравнение Эйнштейна. Для него тоже есть наводящие соображения.
Метрика — это тензор ранга два в четырехмерном пространстве, причем симметричный. Проще говоря — матрица. У него 16 элементов, но из-за симметрии независимых только 10. Стало быть, нужно 10 уравнений, причем тензорных, чтобы не зависели от выбора координат.
По-простому: нужно симметричный тензор ранга 2, зависящий от метрики, приравнять такому же тензору, зависящему от энергии.
Тензор энергии-импульса построить несложно. Вектор энергии-импульса у нас есть, надо его обобщить. Импульс — это поток энергии, а есть еще поток импульса (в частности, давление). Все получается само собой, если перейти в систему отсчета тела, положить одну компоненту (00) равной mc², остальные обнулить, а потом тензорно преобразовать этот объект в другие координаты. Получится то, что получится: тензор энергии-импульса. (Это для сплошной среды, но принцип ясен).
Теперь левая часть уравнения. Там тензор, зависящий от метрики и от производных метрики, и больше ни от чего. Вот он:
Производные не выше второго порядка. Если выше, возникнут сложности с ньютоновским пределом, как и если ниже. Кроме того, этот тензор зависит от тензора кривизны, который зависит от метрики и ее производных второго порядка: мы же договорились, что кривизна "в игре".
В общем-то, вариантов уже не так много. Из тензора кривизны и метрического тензора надо, с помощью тензорных операций, сложить тензор ранга два. Вариантов больше одного, но уже не так много, как кажется.
Есть еще одно соображение. Закон сохранения энергии. Он выражается в виде обнуления тензорной дивергенции тензора энергии-импульса (если интересно, можно разобрать этот вопрос), и таким же свойством должен обладать наш тензор.
Так вот, такой тензор есть только один (впрочем, на числа можно умножать), и это тензор Эйнштейна. Это теорема Лавлока (Lovelock D. The Einstein tensor and its generalizations // J Math Phys (1971) 12(48)).
Поэтому придумать что-то свежее очень трудно.