Разберем подробно задачу повышенной сложности ОГЭ по математике. Кому интересны, какие задания решают школьники в 9 классе на экзамене, можете попробовать свои силы.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K , пересекает стороны угла в точках B и C . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
Рисунок к задаче у меня получился такой:
Помним: центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника АВС. Заметим, что АК из построения является биссектрисой, медианой и высотой треугольника АВС(△АВС - равнобедренный; АО- биссектриса ∠ВАС; ОК⊥ВС). Значит центр описанной окружности точка О₂ ∈ АК:
Теперь задача сводится к тому, что необходимо найти отрезок O₂C. Он и есть искомый радиус.
Теперь хорошо видно, что О₂C является гипотенузой треугольника О₂KC. Но, чтобы найти гипотенузу надо знать катеты или катет и острый угол треугольника.
Что же из этого можно найти из условия?
1) Попробуем сначала найти катет СК.
Для этого соединим центры построенных окружностей с точкой С:
СО является биссектрисой ∠АСК; СО₁ - биссектрисой ∠KCD. Если вы этого не доказывали ранее, пробуйте доказать самостоятельно.
А биссектрисы смежных углов образуют угол 90⁰. Значит ∠ОСО₁ = 90⁰ и треугольник ОСО₁ прямоугольный с высотой проведенной из вершины прямого угла - СК. Вспоминаем про пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
СК²=ОК⋅КО₁;
CK=√(ОК⋅КО₁)=√(16⋅48)=√(16⋅16⋅3)=16√3
2) Выполним еще дополнительное построение: проведем радиус каждой окружности в точку касания.
ОЕ⊥AD; О₁D⊥AD ⇒OE∥О₁D⇒△AOE~△AО₁D
OO₁=OK+KO₁=16+48=64
Обозначим AО=x. Тогда АО₁=x+64.
Т.к. △AOE~△AО₁D, то
AO:AO₁=OE:O₁D
или х:(х+64)=16:48
Раскрываем пропорцию и получаем, что
3х=х+64
2х=64
х=32.
Т.е. АО=32. Тогда находим АК. АК=АО+ОК=32+16=48.
3) Вернемся к поставленной задаче: к поиску О₂С.
Для этого заметим, что АО₂=О₂С, т.к. это радиусы описанной окружности. Обозначим эти отрезки за "у".
Тогда катет О₂К=АК-AО₂, или О₂К=48-у
По теореме Пифагора:
О₂С²=О₂К²+СК²
у²=(48-у)²+(16√3)²
у²=48²-2⋅48⋅у+у²+16²⋅3
2⋅48⋅у=48²+16²⋅3
поделим и левую, и правую часть на 48
2y=48+16
2y=64
y=32.
О₂С=32
ОТВЕТ: 32
Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ не забудьте поделиться с ним этой информацией. Всегда пригодится.