Мы уже обсуждали неизбежность закона обратных квадратов в самых естественных предположениях. Ну, если пространство плоско, изотропно и однородно, а силовое поле, создаваемое точечной массой симметрично, потенциально и бездивергентно (в пустом пространстве), то эта сила обратно пропорциональна расстоянию r до тяготеющей массы, а потенциал пропорционален 1/r. Любые отклонения от этого закона связаны с нарушением каких-то из этих предположений.
И закон Ньютона, и закон Кулона под эту простую схему подпадают.
Теперь рассмотрим более общий случай (хотя одно к другому сводится, конечно). Заодно познакомимся с уравнением Пуассона.
Итак, пусть есть распределение масс: скалярное поле плотности ρ. В каждой точке задано значений плотности. Она создает силу притяжения: силовое поле. В каждой точке задана сила f. Что можно про эту силу сказать?
Пока что угодно! Но пусть поле потенциально, то есть является градиентом некоторого скалярного поля потенциала g (это практически потенциальная энергия). Если поле не потенциально, то в нем нет понятия энергии, работа по замкнутому контуру может быть ненулевой: в общем, это нефизично. Сила трения такая. А гравитация не такая.
Итак, у нас f=grad(g).
Теперь вспомним, что такое дивергенция. Это характеристика векторного поля, показывающая расходимость силовых линий. В терминах потоков (если вектор имеет смысл скорости течения) это поток через границу достаточно малой окрестности точки. Иными словами, дивергенция описывает источники: жидкости или силы. Если силу представить как поток частиц (квантов, гравитонов), то все становится совсем ясно. Источник и производит эти частицы.
Но у нас источниками является плотность. Если непрерывную плотность представить как много-много маленьких тел, материальных точек, то каждая является источником. Тогда можно записать
div(f)~ρ.
Значок ~ означает "пропорционально". Подставим одно в другое и получим
div grad(g) ~ ρ.
Операция divgrad называется оператором Лапласа, а все уравнение — уравнением Пуассона.
Нам даже пока не надо знать, как эти операции выписываются в координатах! Но уравнение уже есть.
Проверим, что все согласуется. Возьмем в качестве ρ дельта-функцию. Если "по-простому", то это такая величина, что она везде нуль, кроме начала координат, но интеграл по любой области, куда это начало входит, равен единице. А если не входит, то равен нулю, естественно. Дельта-плотность соответствует материальной точке: точечной массе или точечному заряду.
Возьмем какой-нибудь шар с центром у нуле и вычислим интеграл по нему от левой и правой части нашего уравнения. Справа получим единицу по "определению" дельты, а слева воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского. Она гласит: интеграл по объему от дивергенции равен потоку через границу объема. Интуитивно это понятно: сумма продукции всех источников выльется через границу наружу. Куда ей еще деваться, если стоки мы все учли? Значит, поток градиента через любую сферу равен единице.
Поток вектора — это надо перпендикулярную к поверхности компоненту вектора умножить на площадь поверхности и сложить по всем кускам поверхности. Для скорости это очевидно, для силы менее, но силу надо представить как поток частиц-переносчиков. Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса, а значит, градиент обратно пропорционален этому квадрату. Всё сошлось.
Но уравнение Пуассона описывает любые распределения, не только дельтавидные. Причем решение для дельты позволяет выписать решение для любой правой части, потому что дельта играет роль "единицы" и из нее можно сложить любую функцию% об этом в другой раз.
К этому уравнению сводится и уравнение Общей теории относительности в предположениях малых скоростей и малых кривизн — как приближение.
Для дивергенции, градиента, оператора Лапласа и других векторных операций есть выражения в популярных координатных системах, и есть общие способы записать их в любых координатах. Так, в декартовых координатах градиент есть вектор из частных производных, дивергенция есть сумма производных i-ой компоненты вектора по i-ой координате, а оператор Лапласа есть сумма вторых производных по каждой координате.
Оператор Лапласа инвариантен относительно вращений: не меняется при вращениях. Он "один" такой, поэтому и встречается во "всех" уравнениях: волновом, теплопроводности/диффузии, Шрёдингера, Пуассона, четырехмерная разновидность появляется в ОТО... Всегда надо смотреть на симметрию! В ней ключ ко всему.