Смотреть ретроспективно очень удобно: сразу видно, как можно было сократить путь. Предлагаю взглянуть с геометрической точки зрения и увидеть контуры теории относительности, так что и сомнений не будет.
Итак, декартовы координаты. Хорошо, когда они есть глобально: ввел координаты — и они сразу на все пространство. Но эта идиллия ломается даже на вполне плоском цилиндре: разные координаты могут относиться к одной и той же точке. А на сфере вообще декартовы координаты есть только в бесконечно-малой окрестности точки.
Поэтому резонно отказаться от обязательно глобальных декартовых координат, пользуясь любыми криволинейными, причем локально: вблизи каждой точки могут быть свои. Ну а чем плохи полярные, сферические и еще какие-нибудь? Географические координаты везде работают (только близ полюсов проблемы), но в городах мы все-же чаще адресуемся улицами и номерами домов. Это тоже координаты, и, кстати, зачастую криволинейные.
А в криволинейных координатах банальная прямая может иметь крайне хитрое уравнение. Например, в полярных координатах прямая x=1 выглядит как r=1/cos(φ). Если не сказано, в каких координатах уравнение, вы нарисуете не прямую, а нечто жуткое.
А теперь я скажу, что это — уравнение траектории материальной точки, зависимость координаты от времени. Вы, не разобравшись в координатах, спросите: что же за такие силы действуют на точку, что она так странно движется? А нет никаких сил, первый закон Ньютона в действии!
И наоборот. Уравнение движения Земли в подходящих полярных координатах довольно близко к r=R. В декартовых это x²+y²=R² (здесь R - радиус орбиты). Линейно в криволинейных координатах или нелинейно в декартовых? Выбирайте...
Хорошо. Теперь разовьем математический аппарат для работы в криволинейных координатах. Пространство пока пусть обычное, плоское, но это не так важно, аппарату все равно. Прямые являются геодезическими линиями (что это такое — не суть важно, но их можно считать ближайшими аналогами прямых). В плоском пространстве это и есть прямые. Для них есть уравнение, выражающее вторую производную радиус-вектора точки (по параметру) через первые производные, а коэффициентами служат некоторые числа, набор которых (не тензор) именуется символом Кристоффеля.
Если этот символ равен нулю (содержит одни нули), то получается уравнение прямой: вторая производная нуль, первая тогда постоянный вектор a, сам радиус-вектор r=at+b, здесь t - параметр. Но в общем случае символ Кристоффеля не равен нулю и уравнение может быть весьма хитрым; но задает все ту же прямую.
Символ Кристоффеля выражается через первые производные метрики по координатам. Метрика просто показывает, как умножать векторы скалярно в данных координатах, и определяет тем самым правила вычисления длин и углов. И кристоффели зависят от того, насколько эти длины и углы по-разному меняются в разных точках пространства. Если метрика постоянная, они равны нулю.
В полярных координатах, например, шажку dφ соответствуют шаги dx=-rsin(φ)dφ и dy=rcos(φ)dφ, которые при маленьком r маленькие, а при большом большие, и это надо учитывать. Метрика это и учитывает.
Теперь выберем в качестве параметра время, а геодезическая пусть будет траекторией. Тогда уравнение геодезической выражает ускорение точки (вторая производная по времени) через производные метрики по координатам (и еще через скорости).
Получается, что метрика играет роль потенциала некоторой силы, которая заставляет тело ускоряться относительно криволинейных координат, причем ускорение еще и от скорости может зависеть.
Физически это известное явление инерции. Есть сила и есть ускорение, но они порождены выбором координат. Если перейти в инерциальные координаты, то там никаких сил не будет и ускорений тоже, только не факт, что это удобнее.
А теперь дело за малым. Вблизи больших масс все тела, независимо от массы, состава, заряда, происхождения, пола и возраста движутся одинаково, если изначально имели одно и то же положение и одну и ту же скорость. Прямых линий в пространстве-времени нет:
- вы либо летите по кривой в пространстве; примером служит камень, летящий по параболе;
- либо по прямой в пространстве, но с переменной скоростью; тот же камень, брошенный вертикально;
- либо по прямой и с постоянной скоростью, но тогда двигатели воют от натуги, и это на вас действует особая сила, удерживающая вас на этой неестественной траектории. Могут, конечно, и не двигатели удерживать: как камень на шкафу. Лежит себе и лежит. Но сила на него — действует.
А если нет прямых, то пространство искривлено. Ничего страшного, аппарат криволинейных координат работает и там. Если тела без действия внешних сил движутся по геодезическим линиям (а это разумно, это же прямые или то, что ближе всего к прямым если прямых нет), то метрика, которая теперь непостоянна просто потому что пространство кривое (а не координаты не те), является потенциалом. Потенциалом гравитационной силы!
Получается интересная вещь: мы сразу, без всяких даже предположений, пришли к тому, что гравитационные силы порождаются метрикой искривленного пространства, как и инерциальные. То есть, массы меняют метрику, создавая гравитацию. Как вы это понимаете — дело ваше. У Эйнштейна пространство-время искривлено, и баста. Есть полевая трактовка, в которой метрика — это тензорное поле в пространстве-времени. Сложнее и возни больше, но эквивалентно и психологически, может, чуть комфортнее. На самом деле, нет, потому что лишняя сущность.
Прийти к уравнению ОТО несколько сложнее, но тоже можно. Но я хотел показать, что связь метрики с гравитацией совершенно очевидна! Если смотреть с нужной точки и в нужном направлении.