Начнём с обычно вызывающей хохот в классе математической задачки: «Охотник проснулся, вышел из палатки, прошёл по компасу своего смартфона 5 километров на юг, потом по компасу 5 километров на восток, застрелил медведя, прошёл по компасу ещё 5 километров на север и вернулся в свою палатку. Какого цвета был медведь?»
Если вы против жестокого обращения с животными, можно считать, что охотник, встретив медведя, перепугался, потерял ружьё и убежал – сути задачи это не меняет.
С первого взгляда эта задачка кажется бредом. Типа «Плывут по Нилу два крокодила, один зелёный, другой на север». Но на самом деле задачка про медведя вполне себе серьёзная и решается!
Вспоминаем, что направления «север-юг» и «запад-восток» перпендикулярны друг другу, то есть угол между ними составляет 90 градусов. Возьмём лист бумаги в клетку и карандаш и попробуем нарисовать маршрут охотника. Сперва «вниз», то есть на юг, 5 километров – то есть 5 клеточек. Потом «вправо», то есть на восток, 5 клеточек. Потом «вверх», на север – ещё 5 клеточек. Внимательно смотрим на наш незатейливый чертёжик и думаем.
На листе бумаги у нас получается разомкнутая линия! А по условию задачи охотник вернулся «в свою палатку», то есть в ту же точку, из которой вышел. Линия, получается, должна быть замкнутой ... Может ли такое быть вообще? А?
«Не может! – скажут те, кто на уроках геометрии хотя бы иногда слушал учительницу. – Если охотник вернулся туда, откуда вышел, тогда его путь представляет собой треугольник, три соединённых собой отрезка прямых. Но повороты охотника – по 90 градусов, и тогда у нас получается, что, если добавить туда ещё один, то сумма углов треугольника должна обязательно быть больше 180 градусов. А по школьной геометрии мы учили, что сумма углов треугольника всегда составляет 180 градусов!»
Прекрасный ответ, пятёрка! И вот как раз здесь возникает сумасшедший (на первый взгляд) вопрос: а может ли быть такое, что сумма углов треугольника может составлять и 190, и 250, и 270, и даже 360 градусов?
Может! Такая геометрия существует , причём это не какая-то там «геометрия Лобачевского», придуманная относительно недавно и плохо понятная простым людям. Эта геометрия известна больше 2500 лет, ею успешно занимались ещё древние греки. Называется она «сферическая геометрия» , или «сферика». Чем-то эта геометрия похожа на школьную – в ней есть точки, отрезки, линии, углы, треугольники, периметры, площади... Однако есть и разница, да какая!
Например, в школьной геометрии мы учим: «Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» . А сферическая геометрия говорит совершенно другое: «Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Любые две несовпадающие прямые пересекаются в двух точках» .
То есть: параллельных прямых там не существует вообще! А для двух прямых существуют две разные точки пересечения!
А вот ещё пример. Школьная геометрия: «Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам» . А вот сферическая геометрия: «Сумма углов треугольника всегда больше 180 градусов и меньше 540 градусов» .
А ещё в сферической геометрии есть вот какая теорема: «Сумма сторон треугольника всегда меньше 360 градусов». И не спешите возражать, что стороны треугольника и вообще отрезки в градусах не измеряют – ещё как измеряют...
А ещё в сферической геометрии существует геометрическая фигура «двухугольник» . Это замкнутая фигура, которая образована двумя пересекающимися отрезками прямых и двумя углами между этими прямыми.
Ключ к загадке – «сфера». Школьная геометрия называется «планиметрия», то есть это геометрия на плоской поверхности. А если мы возьмём мяч или глобус и начнём на нем проводить линии и строить фигуры, то быстро убедимся, что все «сумасшедшие» законы и теоремы, приведённые выше, прекрасно выполняются!
Как же решается задача о медведе? Путь охотника представляет собой треугольник с суммой углов больше 180 градусов – то есть сферический треугольник. Значит, действие задачи происходит на поверхности сферы, «на глобусе». А где у нас на глобусе заданные в условии направления на север и юг (то есть меридианы) могут пересекаться между собой под углом 90 градусов (и вообще пересекаться под углом)? Таких точек только две – это северный и южный полюса! Так что палатка охотника находилась на северном полюсе, и медведь был полярный, то есть белый!
Для проверки возьмите глобус и карандашом проведите путь охотника – от северного полюса вдоль меридиана на юг, затем вдоль параллели такое же расстояние на восток, затем вдоль меридиана обратно на север – и вернётесь в ту же самую точку!
Почему сферическую геометрию не учат в школе? Почему её начинают преподавать только в высших учебных заведениях (или в морских училищах)? Во-первых, сложновата. А во-вторых, школьникам и одной планиметрии хватает, чтобы ломать голову над задачками и получать двойки, не правда ли? Вот заботливые взрослые и убрали сферику из школьной программы, чтобы «не мучить бедных деток» – хотя этой наукой успешно занимались ещё Эвклид, Архимед, Евдокс, Птолемей и прочие древнегреческие математики. А на практике широко применяется эта наука прежде всего в географии , астрономии и навигации (мореплавании).
Далее читайте:
Теория относительности для детей
Бедный синус! (Статья, которая злит учителей математики)
Почему нельзя измерить добро и зло?
Журнал "Лучик" – научно-познавательный семейный журнал для школьников и их родителей. Перейдите по ссылке, чтобы полистать номера журнала. В мартовском номере: что такое энтропия, "тепловая смерть" и кто такой "демон Максвелла"? Разумна ли вселенная?
Приобрести журнал можно, оплатив его доставку в ваш почтовый ящик на сайте Почты России до 25 февраля! В журнале 80 страниц. Выходит ежемесячно.