Геометрический подход к физике прекрасен с чисто эстетической точки зрения. Я много об этом рассказывал. Посмотрим на такие сущности, как энергия и импульс, с геометрической точки зрения.
Напомню кратко основы геометрии Минковского. Пространство-время четырехмерно, расстояние между точками называют интервалом, чтобы не путать с расстоянием обычным. Интервал вычисляется так: его квадрат равен квадрату обычного расстояния в пространстве в световых секундах минус квадрат интервала времени. При этом может получиться положительное значение квадрата, и тогда точки разделены пространственно-подобным интервалом; в частности, таковы одновременные (в данных координатах) точки.
Может получиться отрицательное значение и тогда интервал мнимый; это времени-подобные интервалы, длина которых получается делением на мнимую единицу i. Наконец, может получиться нуль: это свето-подобные интервалы: попасть из одной точки в другую можно, только двигаясь со скорость света, которая у нас равна одной световой секунде за секунду.
Прямые, кривые, поверхности и т.д. тоже могут относиться к одному из этих типов; еще бывают смешанные, но в теории относительности они не встречаются. Тело с массой покоя может двигаться только по времени-подобной линии. Отсюда сразу следует, что скорость больше 1 быть не может.
Еще раз: история материальной точки — это времени-подобная линия (мировая линия). Если она параллельна оси времени, то точка покоится. Если наклонная прямая — движется равномерно прямолинейно. Если изогнута — точка так или иначе ускоряется. Если винтовая линия вокруг оси времени — точки летает по кругу. Ну и так далее.
И да, самый длинный путь между двумя моментами времени — в покое. Потому что t² всегда больше, чем t²-x², а x=vt
Возьмем единичный касательный вектор к мировой линии. Это четырехмерный вектор, нулевая компонента относится ко времени, с первой по третью — к пространству. Это 4-скорость. Вектор единичный, то есть скорость всегда есть, но может вся быть направлена вдоль времени. Если есть скорость в пространстве, то на время остается меньше. Вот вам и замедление времени!
На самом деле, в векторе стоят скорость света и потом три компоненты обычного трехмерного вектора скорости, и все это умножено на множитель Лоренца: c²-v² в степени -1/2.
Умножим 4-скорость на массу m покоя материальной точки. Получим вектор 4-импульса, или вектор энергии-импульса. Его длина, если убрать мнимую единицу, равна m, или, в обычных единицах, mc².
Спокойно, это еще не все. В собственной системе отсчета, в которой точка покоится, у вектора три компоненты нули (скорость равна нулю), и нулевая компонента равна m (или mc²). Таким образом, нулевая компонента — это энергия тела, в любой системе отсчета, а три остальные образуют вектор импульса.
Преобразования координат (с одинаково направленными осями), равномерно прямолинейно движущимися одна относительно другой (инерциальные системы отсчета) описываются гиперболическими поворотами. Отсюда сразу получаются формулы для релятивистской энергии и импульса! Причем мы бесплатно получили энергию покоя.
Это неимоверно красиво! Чисто геометрически, вообще ничего не предполагая физически, мы получили всю релятивистскую кинематику! И формулу E=mc². И понятно, что смысл имеет только инвариантная масса, масса покоя. Релятивистскую массу можно ввести, но большого смысла в ней нет. Иногда бывает полезно чисто дидактически: чтобы понятнее стало.
Теперь достаточно хоть что-то подтвердить экспериментально, и все остальное пойдет бонусом.
Принято говорить, что формулу Эйнштейн получил не первым, что кто только ее не выводил. Всё верно. Если эта формула получилась физически, например на основе анализа излучения фотонов атомом, то всё: мы подтвердили всю релятивистскую кинематику. Потому что по другому не получится все так увязать, без костылей и прочих ad hoc-ов.
Еще небольшой дивиденд. Длина вектора энергии-импульса одна и та же в любой инерциальной системе. Просто геометрически: вектор есть вектор, он описывается по-разному в разных координатах, но длина его такая, какая есть, разве что численно может меняться при перемене единиц измерения. В собственной системе эта длина равна m, или mc² в обычных единицах (после удаления мнимой единицы). Масса, естественно, инвариантная, масса покоя. В движущейся системе квадрат длины этой, по общим правилам, равен квадрату энергии E² минус квадрат импульса p². Получаем формулу
Для фотона без массы покоя всё проще: энергия равна импульсу (E=p). Вот формула в обычных единицах:
Эта же формула верна как приближение, если энергия E велика по сравнению с энергией покоя mc². Иными словами, когда скорость тела очень велика.
Что это дает? Объясняет, почему ускорители делают на встречных пучках.
Энергия разогнанных частиц частично расходуется на разрушение их самих и мишени, по которой они ударяют. Остальная энергия наследуется осколками. Импульс же (в случае упругого взаимодействия) весь переходит к осколкам.
В классической механике нет большой разницы, движется ли мишень или нет. Энергия как функция скорости растет быстрее импульса (потому что квадрат скорости), поэтому если энергия большая, она так и так вся почти уйдет на разрушение.
А вот при релятивистских скоростях энергия равна импульсу (в естественных единицах)! У встречных пучков полный импульс равен нулю; почти вся их энергия уйдет на разрушение, осколки получат часть энергии, но в сумме их импульс будет равен нулю: осколки разлетятся в разные стороны.
А вот если стрелять по неподвижной мишени с той же энергией, то полный импульс теперь не равен нулю! Он (почти) равен энергии. Осколки наследуют этот же импульс и, следовательно, большую часть энергии. На разрушение останется совсем немного. В пределе и ничего. Осколки полетят в разные стороны, но сохранят также движение в ту же сторону, кода летела "пуля".
Единственное, чего мы не сделали в нашем чисто геометрическом рассуждении — это не вывели законы сохранения. Хотя использовали их при анализе коллайдера. Тут уже важны нюансы взаимодействия, которых у нас нет в виде геометрических объектов. О силах и втором законе Ньютона в релятивистике — совсем скоро.