Приветствую Вас, уважаемые Читатели! С функциями и зависимостями каждый из нас непрерывно сталкивается как во время обучения любым наукам, так и в повседневной жизни. В данном случае эмпирика идет перед теорией: все наверно прекрасно понимают, что скрывается под функцией и как их применять, но не все знают четкое её определение. Пришло время восполнить этот пробел. Поехали!
Итак, все мы знаем, что математика аскиоматична, а её первоосновой является теория множеств. Именно поэтому считается, что самым строгим определением функции является теоретико-множественное.
Если Вы в первый раз сталкиваетесь с терминами теории множеств, рекомендую прочитать мой краткий цикл по этой теме.
Чем такое определение лучше? Скажем так, оно максимально тривиальное и не опирается на такие конструкции как "правило" и "соответствие", что в целом может считаться самореферентностью (кстати, вот пример самореферентной формулы в математике, которая воспроизводит саму себя), т.е. определением функции через саму себя. Это не есть правильно, да и часто приводит к парадоксам.
- Функцией f будем называть множество упорядоченных пар (x,y) ∈ X ✖ Y, где x ∈ X, причем такие, что эти пары существуют для всех элементов множества Х. Второе условие - если первые элементы (x,y) совпадают, то вторые (Х,Y) - тоже. Например, есть множества Х = {0,1), Y = {1, 1/2}. Тогда f - это множество упорядоченных пар {(0,1), (1,1/2)}.
Стоит дать некоторые пояснения по данному определению:
- Что такое упорядоченная пара (эх, люблю математику) ? Зайдем из-за угла. Говорят, что число элементов множества А = {a} равно 1, тогда и только тогда, когда при вычитании этого элемента из множества получается множество пустое, т.е. А \ {a} = ∅. По аналогии - множеством из двух элементов B = {a,b} называется парой, если при вычитании из него одного из элементов остается второй, т.е. B \ {a} = {b} или B \ {b} = {a}.
Теперь нам достаточно определить на множестве порядок, а именно назвать а - первым элементом, а b - вторым. Тогда, упорядоченная пара обозначается (а,b) = {{a},{a,b}}. Второй элемент как раз и определяет порядок, он говорит нам "а перед b". Почему так сложно? А потому, что интуитивное понимания отношения порядка в математике - ничто, пока оно не получит строгое определение
Так же можно определить и упорядоченную тройку и т.д. В математике упорядоченная пара называется кортежем 2-го порядка.
2. "Пары существуют для всех элементов множества Х". Как мы дальше увидим, эта фраза описывает "область задания" или "область определения".
3. Множество Y называется областью значений функции.
4. Множество всех элементов y ∈ Y, для которых существует пара (x,y) ∈ f , x ∈ X, называется множеством значений функции.
5. И самое главное, множество упорядоченных пар f ⊂ X ✖ Y также называется графиком функции.
Пример: даны множества X = {1,2,3,4,5} , Y = {1,4,9,16,25}.
- Область задания функции - множество {1,2,3,4,5}.
- Область значений - множество {1,4,9,16,25}.
- график функции - это множество упорядоченных пар {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25). Остается только отразить это множество на графике:
Таким образом, мы только что ввели понятие функции, основываясь лишь на определении упорядоченной пары из теории множеств. Ну разве это не красиво? Спасибо за внимание!