Принято считать, что у современного человека мышление линейное, а в менее развитых сообществах и у детей мышление нелинейное, логарифмическое.
Казалось бы, странное утверждение - не все выпускники средней школы (в программе которой логарифмы прописаны) осваивают это понятие, и существует немало инженеров, искренне недоумевающих, зачем эти логарифмы кем-то были придуманы, если можно прекрасно обходиться без них. А ведь на свойствах логарифмов была основана логарифмическая линейка - калькулятор 1960-х годов.
Понятие логарифма как образа нечто запредельно сложного и недоступного обыденному мышлению использовал советский и российский поэт Евгений Евтушенко в стихотворении "Рождество на Монмартре".
Но чтобы логарифмировать, необязательно получать образование; напротив, только образование позволяет вырваться из плена логарифмических представлений и выйти на линейное мышление.
Протоиерей Русской православной Церкви Герасим Павский, французский философ, антрополог и этнолог Люсьен Леви-Брюль, и советский лингвист С.Д. Кацнельсон отметили свойство восполнения "числа-как числа" "числом последующим", и роли порядковых числительных как "чисел, завершающих множество".
Это и есть свойство первобытного мышления - очередной объект счета осознается субъектом как конечный и завершающий. Но при чем здесь логарифмы, изобретенные шотландцем Джоном Непером?
Рассмотрим механизм связи между раздражением и ощущением. Ощущение дискретно, и единичное раздражение (раздражение на пороге восприятия - лай собаки с расстояния 2 км, пламя свечи с расстояния 3 км) вызывает единичное ощущение. Одновременное второе пороговое раздражение воспринимаются не само по себе, а как часть множества из 2 раздражений ("число завершает множество"), и его вклад в суммарное ощущение равен 1/2. Третье пороговое раздражение также завершает новое множество, но его вклад еще меньше: 1/3, и т.д.
Отсюда интересное выражение:
Ощущение = 1+1/2+1/3 ... +1/n;
где n - сила раздражения, или количественное выражение раздражения в единицах пороговых раздражений.
Ниже график подобной зависимости.
Рассмотрим выражение 1+1/2+1/3 ... +1/n с другой стороны. Число членов в выражении, равное количественному выражению раздражения, с ростом раздражения возрастает линейно, скорость же роста ощущения растет обратно пропорционально силе раздражителя.
И даже тот инженер, недоумевающий, зачем нужны логарифмы, может таки, порывшись в памяти времен получения инженерного образования, припомнить, что
"Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x".
Поскольку производная функции - это скорость изменения функции, с учетом высказанного в предыдущем абзаце, ощущения растут пропорционально логарифму раздражения.
В науке психофизике это соотношение носит название психофизического (психофизиологического) закона Вебера-Фехнера, в математике выражается интересным соотношением:
ln x ≈ 1 +1/2 + 1/3 ... + 1/x + C,
где C - постоянная Эйлера, равная (округленно) 0,5772.
Выражение приближенное, но оно очень быстро становится очень точным, с ростом x.
Из закона Вебера-Фехнера вытекает необходимость измерять силу раздражителя не в абсолютном выражении (в физических единицах звукового давления, плотности звуковой энергии, световой яркости или освещенности), а в особых логарифмических единицах - децибелах (дБ). Децибел - одна десятая часть более крупной единицы Бел, названной в честь американского ученого, изобретателя телефона Александра Белла.
Радиолюбителям, собиравшим самодельные усилители звуковой частоты, известен парадокс: в результате схемных изменений, изменений режима удается поднять мощность усилителя в 2 раза, но на слух громкость воспроизведения при этом увеличивается незначительно.
Так и есть - количественно громкость изменяется всего на 3 дБ, предположим с 60 дБ до 63 дБ. Увеличение громкости до 70 дБ потребует увеличения мощности в 10 раз, а до 80 дб - в 100 раз. При этом громкость 80 дБ даже "не тянет" на громкость автомобильного гудка, для этого мощность пришлось бы увеличивать в 1000 раз.
Надеемся, теперь вас не удивит, что мощность очень скромного двухканального усилителя дискотеки составляет 2 х 150 Вт, вплоть до 2 х 3000 Вт и выше.
Некоторые люди, следящие за своим здоровьем, очень большое значение придают кислотности (pH-показателю) биологических жидкостей своего организма. Так, в здоровом организме pH крови изменяется в пределах от 7,36 до 7,44, при норме 7,40. Шкала кислотности тоже логарифмическая (отражает логарифм концентрации ионов водорода в растворе), и 1 децибелу эквивалентна десятая доля pH-показателя. Не поразительно ли, что организм удерживает кислотность крови с точностью выше 1 децибела, при том, что питание человека очень разнообразное.
Логарифмической является шкала блеска звезд, шкала магнитуды (силы) землетрясений и еще множества связанных с раздражителями и ощущениями процессов.
Шкала звездных величин обратная : меньшим значениям соответствуют более яркие объекты, но в целом она также логарифмическая - разнице блеска в 1 звездную величину соответствует изменения яркости в 2,5 раза. За эталон с нулевой звездной величиной можно принять звезду Вега в созвездии Лиры.
Ниже шкала магнитуд (силы) землятресений по шкале Рихтера.
Шкала Рихтера очень наглядное свидетельство разницы между представлением величин в абсолютном выражении и логарифмическом представлении. Сказать, что землетрясение в 12 баллов в 2 раза сильнее, чем 6-балльное землетрясение, а 6-балльное в 2 раза сильнее 3-балльного, не повернется язык. Пережить 4 трехбалльных землетрясения как-то спокойнее, чем одно 12-балльное.
И в заключение вид клавиатуры фортепьяно (рояля, пианино) сверху (представлено цифровое пианино).
Голубой точкой обозначена клавиша ЛЯ первой октавы, частота звука при ее нажатии устанавливается настройщиком (по камертону) 440 Гц (иногда 442 Гц; основания, по которым утверждается, что под 432 Гц настраивал свою лиру Орфей, нам неизвестны; музыку барокко принято исполнять под ЛЯ 415 Гц), под ЛЯ первой октавы настраиваются все инструменты симфонического оркестра перед исполнением музыкального произведения.
А вся гамма частот клавишей ниже и выше ноты ЛЯ выстроена по логарифмическому принципу, именно таково восприятие высоты звука человеком - любую мелодию можно сыграть выше или ниже на полтона, тон, октаву и пр.
Одну и ту-же песню можно спеть, обладая голосом различной высоты, от тонкого женского или детского до басовитого взрослого мужчины, и мелодия будет узнаваемой.
Как узнаваемо знаменитое вульгарное"швабское приветствие", переложенное Моцартом в канон с узнаваемой в произведениях других композиторов 4-нотной последовательностью. Некоторые знатоки даже узнают эту последовательность в знаменитом бетховенском "Так в дверь стучится судьба".
Эти же четыре ноты, исполненные на литаврах, в годы Второй Мировой войны английская радиостанция Би-Би-Си использовала в качестве позывных начала вещания радиостанции «Свободная Франция».
Вот и все содержание статьи - от особенностей первобытного мышления, описанного Леви-Брюлем, до знаменитой симфонии Бетховена.